Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 2)

Exercice 2 (6 points)

Partie A: étude du sens de variation d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$.

1.

Résoudre l'équation $f(x) = x$.

2. a.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Vérifier que, pour tout réel $x$, on a $f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$.

2. b.

En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B: étude de la convergence d'une suite récurrente

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

1.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $1 \le u_n \le u_{n+1} < \sqrt{3}$.

2.

En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

3. Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la question 2. de la partie B.

Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n = \dfrac{u_n^2}{3-u_n^2}$. On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie.

3. a.

Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 4 dont on précisera le premier terme.

3. b.

En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis que $u_n = \sqrt{\dfrac{1{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}}$ pour tout entier naturel $n$.

3. c.

En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Partie C: étude de la convergence de la somme de termes

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n = u_0^2 + u_1^2 + \dots + u_{n-1}^2$.

1.

Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les $p$ premiers termes de la suite $(S_n)$.

from math import *

def termes(p):

u=...

S=0

L=[ ]

for i in range(p):

S=...

u=...

L.append(S)

return L Remarque: la commande L=[] crée une liste vide et L.append(S) ajoute S à la fin de la liste L.

2.

On rappelle que, pour tout entier naturel $k$, on a $1 \le u_k \le \sqrt{3}$.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $n \le S_n \le 3n$.

3.

En déduire les limites respectives de $S_n$ et de $\dfrac{S_n}{n^2}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.