Exercice 4 - Questions 1 à 4 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 2)

1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

Réponse : $+\infty$

2. a. Démontrer que pour tout réel x > 0, on a f(x) = 4(g(√x))².

Réponse : $g(\sqrt{x}) = \sqrt{x}\ln(\sqrt{x}) = \frac{\sqrt{x}}{2}\ln x$, donc $4(g(\sqrt{x}))^2 = 4 \times \frac{x}{4}(\ln x)^2 = x(\ln x)^2 = f(x)$.

2. b. En déduire lim_{x -> 0} f(x).

Réponse : 0

3. a. Démontrer que sur l'intervalle ]0 ; +∞[, f'(x) = (ln x)(2 + ln x).

Réponse : $f'(x) = 1 \times (\ln x)^2 + x \times 2\ln x \times \frac{1}{x} = (\ln x)^2 + 2\ln x = (\ln x)(2 + \ln x)$.

3. b. En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.

Réponse : $f$ est strictement croissante sur $]0 ; e^{-2}]$, strictement décroissante sur $[e^{-2} ; 1]$, et strictement croissante sur $[1 ; +\infty[$.

3. c. Donner la valeur exacte du maximum de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; 1].

Réponse : $\frac{4}{e^2}$ / $4/e^2$ / $4e^{-2}$

4. a. Justifier que, sur l'intervalle ]0 ; +∞[, cette équation admet une unique solution. On note α cette solution.

Réponse : Sur $]0 ; 1]$, le maximum de $f$ est $\frac{4}{e^2} \approx 0{,}54 < 2$, donc il n'y a pas de solution sur $]0 ; 1]$. Sur $[1 ; +\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante de $0$ à $+\infty$, donc d'après le corollaire du TVI il existe une unique solution $\alpha$.

4. b. Donner un encadrement de α d'amplitude 0,1.

Réponse : $2{,}4 < \alpha < 2{,}5$

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.

Réponse : 2.5 / 2,5