Exercice 4 - Compléments sur la dérivation et convexité · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 1)

1. Conjecturer, à l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$, les intervalles de $\mathbb{R}$ sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

Réponse : D'après la courbe, la fonction semble : • convexe sur $]-\infty ; 1]$, elle est tournée vers le haut et au-dessus de ses tangentes. • concave sur $[1 ; +\infty[$, elle est tournée vers le bas en-dessous de ses tangentes.

4. a. Démontrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) = \frac{-3x^2 + 10x - 3}{x^2 + 1}$.

Réponse : Pour tout réel $x$, on a : $$f'(x) = 5 \times \frac{2x}{x^2 + 1} - 3 = \frac{10x}{x^2 + 1} - 3 = \frac{10x - 3(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{-3x^2 + 10x - 3}{x^2 + 1}$$

4. b. Racines de $f'(x)$

Réponse : $1/3$ et $3$

4. b. Étude des variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Réponse : Le coefficient dominant de $-3x^2 + 10x - 3$ est négatif, donc ce trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre les racines. Ainsi, $f$ est décroissante sur $]-\infty ; \frac{1}{3}]$, croissante sur $[\frac{1}{3} ; 3]$, puis décroissante sur $[3 ; +\infty[$.

5. a. Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1.

Réponse : Rejeter

5. a. Justification du rejet de la conjecture

Réponse : $f''(x) = \frac{10(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$. Le signe dépend de $1 - x^2$ : $f$ est concave sur $]-\infty ; -1]$, convexe sur $[-1 ; 1]$ et concave sur $[1 ; +\infty[$. La conjecture est donc rejetée car sur $]-\infty ; -1]$, $f$ est concave.

5. b. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1.

Réponse : $y = 2x + 5\ln(2) - 5$

5. c. En déduire que pour tout $x \ge 1$, $\ln(x^2 + 1) \le x + \ln(2) - 1$.

Réponse : Sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$, la fonction $f$ est concave. Sa courbe représentative est donc située en dessous de chacune de ses tangentes, en particulier de la tangente au point d'abscisse $1$. Ainsi, pour tout $x \ge 1$ : $$f(x) \le 2x + 5\ln(2) - 5$$ C'est-à-dire : $$5\ln(x^2 + 1) - 3x \le 2x + 5\ln(2) - 5 \iff 5\ln(x^2 + 1) \le 5x + 5\ln(2) - 5$$ En divisant par $5$, on obtient bien, pour tout $x \ge 1$ : $$\ln(x^2 + 1) \le x + \ln(2) - 1$$