Aufgabe MMS 3 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2026

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind $80\,\%$ Personenkraftwagen (Pkw).

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. $70{,}8\,\%$ dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

In einer Region werden die Personen betrachtet, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren. Um den Anteil $p$ der Personen zu senken, die dabei allein im Pkw sind, wurden Anreize geschaffen, verstärkt Fahrgemeinschaften zu bilden. Erfahrungsgemäß betrug der beschriebene Anteil $p$ vor der Schaffung der Anreize über $90\,\%$.

Nun soll untersucht werden, ob dieser Anteil deutlich gesunken ist. Dazu werden $20$ Stichproben jeweils vom Umfang $500$ erhoben und es wird jeweils die Anzahl der Personen ermittelt, die allein im Pkw zur Arbeit fahren. Für jede Stichprobe wird mithilfe der Gleichung $|h - p| = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}}$ jeweils ein Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$ für den unbekannten Anteil $p$ ermittelt. Diese Konfidenzintervalle sind in Abbildung 2 dargestellt und mit den Nummern 1 bis 20 versehen.

a)

In einer der Stichproben werden $356$ Personen gezählt, die allein im Pkw zur Arbeit fahren. Ermitteln Sie rechnerisch auf Tausendstel genau die Grenzen des zugehörigen Konfidenzintervalls und geben Sie seine Nummer an. [3 BE]

b)

Geben Sie einen möglichen Wert für den beschriebenen unbekannten Anteil $p$ an, der mit genau $19$ der $20$ Stichprobenergebnisse verträglich ist, und begründen Sie Ihre Angabe unter Verwendung von Abbildung 2. [2 BE]

c)

Nun werden für $20$ weitere Stichproben, die jeweils den Umfang $500$ haben, die zu deren Ergebnissen gehörenden Konfidenzintervalle zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$ ermittelt. Es wird angenommen, dass der Wert von $p$ für diese $20$ Stichproben konstant ist. Betrachtet wird die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von $p$ von genau $19$ dieser $20$ ermittelten Konfidenzintervalle überdeckt wird, beträgt weniger als $42\,\%$.

Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl derjenigen Konfidenzintervalle unter den ermittelten Konfidenzintervallen, die den Wert von $p$ überdecken. Geben Sie eine geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ an und erläutern Sie Ihre Wahl. Zeigen Sie, dass die Aussage wahr ist. [3 BE]