Abitur Thüringen Mathematik 2018 · LK · Teil B · Stochastik (WTR)

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

a)

50 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Berechnen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

$A$: „Genau zwei der Teile sind fehlerhaft.“

$B$: „Mindestens 6 % der Teile sind fehlerhaft.“

b)

Ermitteln Sie, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens drei Teile keinen Fehler haben.

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %.“ auf der Grundlage einer Stichprobe von 200 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

c)

Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

$k =$

d)

Das neue Granulat ist teurer als das vorherige. Geben Sie an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen Sie Ihre Angabe.

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.

Farbe · Blau · Rot · Grün

Mittelpunktswinkel · $180^\circ$ · $120^\circ$ · $60^\circ$

Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist $\frac{1}{6}$.

a)

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, ebenfalls $\frac{1}{6}$ beträgt.

b)

Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.

Farbe · Blau · Rot · Grün

Mittelpunktswinkel · $180^\circ$ · $120^\circ$ · $60^\circ$

Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist $\frac{1}{6}$.

c)

Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei wird der grüne Sektor verkleinert. Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die beiden ersten Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.

Bestimmen Sie die Größe des zum blauen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels.

1 Aufgabe

Eine Firma stellt Flachbildschirme her. Im Mittel ist einer von fünf hergestellten Bildschirmen fehlerhaft.

a)

Es soll angenommen werden, dass die Anzahl fehlerhafter Geräte unter zufällig ausgewählten Bildschirmen durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

A: „Von 50 zufällig ausgewählten Bildschirmen sind höchstens 8 fehlerhaft.“

B: „Von 200 zufällig ausgewählten Bildschirmen sind mehr als 15 % und weniger als 25 % fehlerhaft.“

d)

Von vierzig abschließend geprüften Bildschirmen, unter denen sechs fehlerhaft sind, werden zehn zufällig ausgewählt. Beurteilen Sie, ob die Anzahl fehlerhafter Bildschirme unter den ausgewählten binomialverteilt ist.

Nein

Ja

1 Aufgabe

Eine Firma stellt Flachbildschirme her. Im Mittel ist einer von fünf hergestellten Bildschirmen fehlerhaft.

Fehler der Bildschirme treten am häufigsten in Form eines defekten Displays sowie in Form eines defekten Netzteils auf. Für einen zufällig ausgewählten Bildschirm beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

das Display defekt ist, $10{,}7\,\%$,

weder das Display noch das Netzteil defekt ist, $87{,}3\,\%$,

entweder das Display oder das Netzteil defekt ist, $11{,}7\,\%$.

b)

Stellen Sie den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. Tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten (in Prozent, mit oder ohne %-Zeichen) in die Tabelle ein:

$D$

$\overline{D}$

Summe

$N$

$\overline{N}$

Summe

c)

Untersuchen Sie, ob die beiden betrachteten Defekte unabhängig voneinander auftreten.

e)

Bei der abschließenden Prüfung werden alle fehlerfreien Bildschirme als fehlerfrei eingestuft. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein fehlerhafter Bildschirm als fehlerhaft eingestuft wird, wird mit $x$ bezeichnet. Ein im Rahmen der Prüfung als fehlerfrei eingestufter Bildschirm wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie den kleinstmöglichen Wert von $x$, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Bildschirm fehlerhaft ist, höchstens $5\,\%$ beträgt.

1 Aufgabe

Eine Firma stellt Flachbildschirme her. Im Mittel ist einer von fünf hergestellten Bildschirmen fehlerhaft.

Ein Mitarbeiter der Firma bezweifelt, dass im Mittel einer von fünf Bildschirmen fehlerhaft ist. Um einen Schätzwert für den Anteil fehlerhafter Geräte zu ermitteln, zieht er eine große Stichprobe vom Umfang $n$. In der Stichprobe sind $15\,\%$ der Bildschirme fehlerhaft.

Auf der Grundlage der Stichprobe können mithilfe der abgebildeten Graphen A, B, C und D für den zu ermittelnden Schätzwert Konfidenzintervalle zu den Sicherheitswahrscheinlichkeiten $90\,\%$ und $95\,\%$ bestimmt werden.

Jeder der Graphen lässt sich durch eine der folgenden Funktionen beschreiben:

$$f_k: p \mapsto p - k \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, \quad g_k: p \mapsto p + k \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

Dabei ist $p \in [0; 1]$, $k \in \mathbb{R}^+$ und $n$ der Umfang der Stichprobe.

f)

Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$. Entscheiden Sie, ob die Aussage „Im Mittel ist einer von fünf Bildschirmen fehlerhaft.“ durch das bestimmte Konfidenzintervall gestützt werden kann. [3 BE]

g)

Der Mitarbeiter zieht eine zweite Stichprobe vom Umfang $2n$. Auch in dieser Stichprobe sind $15\,\%$ der Bildschirme fehlerhaft. Begründen Sie, dass die Länge des zugehörigen Konfidenzintervalls im Vergleich zur ersten Stichprobe – bei gleicher Sicherheitswahrscheinlichkeit – geringer, aber nicht halb so groß ist. [3 BE]