Aufgabe 1 - Beurteilende Statistik · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2018

1 Aufgabe

Eine Firma stellt Flachbildschirme her. Im Mittel ist einer von fünf hergestellten Bildschirmen fehlerhaft.

Ein Mitarbeiter der Firma bezweifelt, dass im Mittel einer von fünf Bildschirmen fehlerhaft ist. Um einen Schätzwert für den Anteil fehlerhafter Geräte zu ermitteln, zieht er eine große Stichprobe vom Umfang $n$. In der Stichprobe sind $15\,\%$ der Bildschirme fehlerhaft.

Auf der Grundlage der Stichprobe können mithilfe der abgebildeten Graphen A, B, C und D für den zu ermittelnden Schätzwert Konfidenzintervalle zu den Sicherheitswahrscheinlichkeiten $90\,\%$ und $95\,\%$ bestimmt werden.

Jeder der Graphen lässt sich durch eine der folgenden Funktionen beschreiben:

$$f_k: p \mapsto p - k \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, \quad g_k: p \mapsto p + k \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

Dabei ist $p \in [0; 1]$, $k \in \mathbb{R}^+$ und $n$ der Umfang der Stichprobe.

f)

Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$. Entscheiden Sie, ob die Aussage „Im Mittel ist einer von fünf Bildschirmen fehlerhaft.“ durch das bestimmte Konfidenzintervall gestützt werden kann. [3 BE]

g)

Der Mitarbeiter zieht eine zweite Stichprobe vom Umfang $2n$. Auch in dieser Stichprobe sind $15\,\%$ der Bildschirme fehlerhaft. Begründen Sie, dass die Länge des zugehörigen Konfidenzintervalls im Vergleich zur ersten Stichprobe – bei gleicher Sicherheitswahrscheinlichkeit – geringer, aber nicht halb so groß ist. [3 BE]