Abitur NRW Physik 2025 · LK · Wiegen im Weltraum

1 Fachpraktischer Teil

Die Massenbestimmung soll wie beim BMMD auf der Raumstation (M 1) nun modellhaft unter Nutzung eines vertikalen Federpendels durchgeführt werden.

Material 1: Das Body Mass Measurement Device (BMMD)

Das BMMD besteht aus einer Art Hocker (mit bekannter Masse $m_\text{H}$), auf den sich der Astronaut begibt und festhält. Der Hocker ist über eine Feder (mit bekannter Federkonstante $D$) mit der Raumstation fest verbunden. Wird das Gerät eingeschaltet, so wird der Astronaut zusammen mit dem Hocker in Eigenschwingungen versetzt. Die Elektronik des Geräts misst die Periodendauer, mit der Astronaut und Hocker als gemeinsame schwingende Masse frei auf und ab schwingen. Aus dieser Periodendauer können dann die schwingende Masse und daraus dann wiederum die Masse des Astronauten errechnet werden.

a

Beschreiben Sie die Durchführung eines Versuchs, mit dem Sie unbekannte Massen auch in Schwerelosigkeit bestimmen können. Skizzieren Sie dafür einen Versuchsaufbau (M 2). [4 BE]

b

Ermitteln Sie unter Berücksichtigung der Hinweise zum Versuch (M 2) die Periodendauern $T_0$ und $T_\text{g}$ experimentell. [7 BE]

Material 2: Material zur Durchführung des Versuchs

Geräte: 1 Schraubenfeder, 6 gleiche Massestücke, 1 Tischklemme, Stativmaterial, 1 Stoppuhr.

Hinweise zur Durchführung: Ermitteln Sie die Periodendauer $T_0$ für die Anfangsmasse von $m_0 = 100\text{ g}$. Belassen Sie diese Masse an der Feder. Fügen Sie danach schrittweise zu den $100\text{ g}$ vier weitere Massestücke von jeweils $50\text{ g}$ hinzu, wobei Sie in jedem Schritt jeweils die Periodendauer $T_\text{g}$ messen. Wenden Sie hierbei ein Verfahren an, um die Messunsicherheit möglichst zu verringern. Verwenden Sie kleine Auslenkungen.

Hinweis: Sollte Ihnen das Aufnehmen von Messwerten nicht gelingen, so können Sie bei der Lehrkraft Ersatzmesswerte anfordern. Den nicht erbrachten Leistungen entsprechend werden 7 Bewertungseinheiten nicht erteilt.

Zusatzmasse $m_\text{z}$ in g · 50 · 100 · 150 · 200

Periodendauer $T_\text{g}$ in s

2 Auswertung des fachpraktischen Teils

$T_0$ im Modellversuch entspricht der Schwingungsdauer des Stuhles ohne Astronauten. $T_{\text{g}}$ entspricht der Schwingungsdauer des Astronauten mit dem Stuhl.

Damit das BMMD zu jeder Periodendauer $T_{\text{g}}$ direkt die Masse des Astronauten zuordnen kann, sollen die Ergebnisse innerhalb eines Diagramms dargestellt werden.

Material 3: Theoretischer Hintergrund beim BMMD

Werden Körper der Masse $m_{\text{z}}$ zusätzlich zur Anfangsmasse $m_0$ an denselben Federschwinger angehängt, so steigt die Periodendauer auf den Wert $T_{\text{g}}$. Setzt man die beiden quadrierten Periodendauern ins Verhältnis, erhält man die folgende Gleichung:

$$\frac{T_{\text{g}}^2}{T_0^2} = \frac{m_0 + m_{\text{z}}}{m_0} \quad (1)$$ · $m_0$: Anfangsmasse

$m_{\text{z}}$: Zusatzmasse

$T_0$: Periodendauer bei der Masse $m_0$

$T_{\text{g}}$: Periodendauer bei der Masse $m_0 + m_{\text{z}}$

a)

Stellen Sie auf Basis Ihrer Messergebnisse den Quotienten $\frac{T_{\text{g}}^2}{T_0^2}$ in Abhängigkeit von der jeweils zusätzlichen Masse in einem Diagramm dar. [5 BE]

Hinweis: Falls Sie keine eigenen Messwerte erhoben haben, nutzen Sie die Ersatzmesswerte aus Aufgabe 1 ($T_0 = 1{,}05\,\text{s}$ bei $m_0 = 100\,\text{g}$, sowie $T_{\text{g}} = 1{,}15\,\text{s}$ für $50\,\text{g}$, $1{,}23\,\text{s}$ für $100\,\text{g}$, $1{,}32\,\text{s}$ für $150\,\text{g}$, $1{,}40\,\text{s}$ für $200\,\text{g}$).

b)

Vergleichen Sie Ihre Messergebnisse mit dem in Material 3 dargestellten idealisierten Zusammenhang, der sich aus Gleichung (1) ergibt. [4 BE]

c)

Nennen Sie zwei mögliche Ursachen für die Messunsicherheiten bei Ihrem Experiment und die Auswirkungen auf die Interpretation der Messergebnisse. [3 BE]

3 Harmonische Schwingung am BMMD

In Material 4 ist das $y(t)$-Diagramm einer harmonischen Schwingung abgebildet, die eine Beispielmessung mit dem BMMD darstellt.

Eine solche harmonische Schwingung kann allgemein durch die Funktionsgleichung $y(t) = y_{\text{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ beschrieben werden.

a)

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung für die in Material 4 dargestellte Schwingung.

b)

Ermitteln Sie den Betrag der maximalen Geschwindigkeit des schwingenden Astronauten auf dem BMMD sowie die Zeitpunkte $t$ während der ersten Periode, an denen dieser Maximalbetrag der Geschwindigkeit auftritt.

Bei weiteren Testversuchen wurde festgestellt, dass die vom BMMD angezeigte Masse von der eigentlichen Masse um $6\,\%$ abweicht. Weiterhin wurde beobachtet, dass es sich um eine gedämpfte Schwingung handelt (M 6).

Material 5: Abklingkoeffizient bei einer gedämpften Schwingung

Der Abklingkoeffizient $\delta$ ist ein Maß für das Dämpfungsverhalten in frei schwingenden Systemen. Es gilt die folgende Gleichung zur Berechnung:

$$\delta = \frac{1}{T} \ln \frac{y_{\max}(t)}{y_{\max}(t+T)} \quad (2)$$

$\delta$: Abklingkoeffizient;

$y_{\max}(t)$: Amplitude zum Zeitpunkt $t$;

$y_{\max}(t+T)$: Amplitude zum Zeitpunkt $t+T$

Material 6: $y(t)$-Diagramm einer gedämpften Schwingung

a)

Der Einfluss der Dämpfung auf die Schwingung lässt sich unter Nutzung des sogenannten Abklingkoeffizienten $\delta$ mathematisch erfassen (M 5). Ermitteln Sie möglichst genau unter Nutzung der Gleichung (2) aus Material 5 und des in Material 6 abgebildeten Diagramms für eine gedämpfte Schwingung diesen Abklingkoeffizienten. [Kontrollwert: $\delta = 0{,}10\,\text{s}^{-1}$]

b)

Beurteilen Sie mit Hilfe von Material 6, ob die Dämpfung einen Einfluss auf das Ergebnis der Messung der Masse hat.