Aufgabe 2 - Teilaufgabe 3 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2019

a) Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die entnommene Kugel mit „+1“ beschriftet ist, durch den Term (0,35n+1)/(n+2) angegeben wird.

Lösung: Die Anzahl der Kugeln in der Urne ist $n + 2$. Vor der Ergänzung beträgt die Anzahl der Kugeln, die mit „+1“ beschriftet sind, $0{,}35 \cdot n$, nach der Ergänzung also $0{,}35 \cdot n + 1$. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit $\frac{0{,}35n+1}{n+2}$.

b) Entscheiden Sie, für welche der beiden Wahrscheinlichkeiten die Zunahme größer ist

Lösung: „+2“ / Für die mit „+2“ beschriftete Kugel

b) Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Lösung: Es gilt: $$\frac{0{,}25n+1}{n+2} - 0{,}25 > \frac{0{,}35n+1}{n+2} - 0{,}35$$ Da $\frac{0{,}25n+1 - 0{,}25(n+2)}{n+2} = \frac{0{,}5}{n+2}$ und $\frac{0{,}35n+1 - 0{,}35(n+2)}{n+2} = \frac{0{,}3}{n+2}$ ist, gilt wegen $0{,}5 > 0{,}3$ stets $\frac{0{,}5}{n+2} > \frac{0{,}3}{n+2}$.