Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Lineare Algebra 2025

Thema: Lineare Gleichungssysteme · Aus der Prüfung GK · Teil A · Lineare Algebra (2025)

Aufgabenstellung

1 Aufgabe

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:

I2x−y−2z=11IIx+4z=−6\begin{aligned} \text{I}& \quad 2x - y - 2z = 11 \\ \text{II}& \quad x + 4z = -6 \end{aligned}

a

Weisen Sie nach, dass x=2x = 2, y=−3y = -3, z=−2z = -2 eine Lösung dieses Gleichungssystems ist.

[1 BE]

b

Das Gleichungssystem wird durch eine weitere Gleichung ergänzt:

[4 BE]

III3x−y+2z=a\text{III} \quad 3x - y + 2z = a

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt einen reellen Wert von a, für den das aus I, II und III bestehende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Lineare Algebra 2025

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Weisen Sie nach, dass x = 2, y = -3, z = -2 eine Lösung dieses Gleichungssystems ist.

Lösung: Einsetzen der gegebenen Werte in I bzw. II ergibt: 4 + 3 + 4 = 11 2 - 8 = -6

Beurteilen Sie die folgende Aussage: Es gibt einen reellen Wert von a, für den das aus I, II und III bestehende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

Lösung: wahr

Begründung der Beurteilung zur Lösbarkeit von Gleichungssystem I, II und III in Abhängigkeit von a.

Lösung: Addition der Gleichungen I und II liefert: 3x - y + 2z = 5. Für a = 5 ist III identisch mit I + II. Für jeden Wert von z mit z ∈ ℝ liefert II einen Wert für x und I einen Wert für y, sodass diese Werte x, y, z für a = 5 wegen I + II = III auch die Gleichung III erfüllen. Somit ist die Aussage wahr.

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