Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2024

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit den Eckpunkten $A(-3|-3|0)$, $B(3|-3|0)$, $C(3|3|0)$, $D(-3|3|0)$ und $S(0|0|4)$ sowie den Punkt $O(0|0|0)$, der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche $CDS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$.

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen

$$E_k: 4k \cdot x + 4\sqrt{1-k^2} \cdot y + 3 \cdot z = 12 \quad \text{mit } k \in [-1; 1].$$ Die Seitenfläche $ADS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{-1}$, die Seitenfläche $BCS$ in der Ebene $E_1$.

Jede Ebene $E_k$ der Schar schneidet die $xy$-Ebene in einer Gerade $g_k$. Mit $R_k$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_k$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat. In Abbildung 2 sind $g_k$ und $R_k$ beispielhaft für eine Ebene $E_k$ der Schar dargestellt.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. (zur Kontrolle: $4y + 3z = 12$) [3 BE]

e)

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: 4k \cdot x + 4\sqrt{1-k^2} \cdot y + 3 \cdot z = 12$ mit $k \in [-1; 1]$. Zeigen Sie, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist. [1 BE]