Aufgabe 2 (WTR 2) - Geraden und Ebenen: Gleichung… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2024

Gegeben sind das gerade Prisma $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $C(0|0|0)$, $D(6|0|5)$, $E(0|8|5)$ und $F(0|0|5)$ sowie der Punkt $M(3|4|5)$ (vgl. Abbildung 1).

Die Ebene $W$ enthält die Punkte $M$, $F$ und $S(7{,}5|0|0)$ (vgl. Abbildung 2).

Anstelle des Punkts $S$ werden nun Punkte $S_t(t|0|0)$ mit $t \ge 0$ auf der $x$-Achse betrachtet. Für jeden Wert von $t$ schneidet die Ebene durch die Punkte $M$, $F$ und $S_t$ das Prisma $ABCDEF$ in einem Vieleck.

c)

Die Ebene W enthält die Punkte M, F und $\mathrm{S}(7{,}5\,|\,0\,|\,0)$. Bestimmen Sie eine Gleichung von W in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $4x - 3y + 6z = 30$)

d)

Im Folgenden sind zwei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:

(1) $\mathrm{P}(6\,|\,0\,|\,r)$ mit $0 \le r \le 5$

(2) $4\cdot 6 - 3\cdot 0 + 6\cdot r = 30$

Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an.

e)

Anstelle des Punkts S werden nun Punkte $\mathrm{S}_t(t\,|\,0\,|\,0)$ mit $t \ge 0$ auf der x-Achse betrachtet. Für jeden Wert von $t$ schneidet die Ebene durch die Punkte M, F und $\mathrm{S}_t$ das Prisma ABCDEF in einem Vieleck.

Geben Sie die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $t$ an sowie alle Werte von $t$, für die das Vieleck zwei Symmetrieachsen besitzt.