Aufgabe 1 (WTR 1) - Geraden und Ebenen: Gleichung… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2024

Die Abbildung zeigt modellhaft eine Eingangsüberdachung, die an einem Hausdach angebracht ist. Die Eingangsüberdachung besteht aus einer dreieckigen und zwei viereckigen Dachflächen, deren Eckpunkte im verwendeten Koordinatensystem durch die Punkte $A(3|0|0)$, $B(0|0|0)$, $C(1{,}5|-1{,}2|1)$, $D(3|2|0)$, $E(0|2|0)$ und $F(1{,}5|0{,}8|1)$ dargestellt werden. Die Punkte $A$, $B$ und $C$ markieren Befestigungspunkte am Hausdach. Es gilt $\vec{AD} = \vec{BE} = \vec{CF}$ und $|\vec{DF}| = |\vec{EF}|$.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Alle Materialstärken werden im Folgenden vernachlässigt. Der Übergang vom Hausdach zur vertikalen Hauswand liegt im Modell in der $x$-Achse.

d

Das Sonnenlicht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Eingangsüberdachung trifft, kann durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} -0{,}9 \\ -1 \\ -0{,}6 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Erläutern Sie im Sachzusammenhang die Schlussfolgerungen, die in Verbindung mit der Abbildung aus den folgenden Schritten gezogen werden können.

$$\text{I} \quad \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -0{,}9 \\ -1 \\ -0{,}6 \end{pmatrix} \text{ liefert } \lambda = 2 \text{ und somit } (-1{,}8 \mid 0 \mid -1{,}2).$$

$$\text{II} \quad -1{,}8 < 0 \text{ und } -2{,}5 < -1{,}2 < 0$$

[4 BE]

e

Die in der Abbildung dargestellten sechs Punkte $A$ bis $F$ sind die Eckpunkte eines Körpers $K$, der von fünf Flächen begrenzt wird. $K$ wird von der Ebene mit der Gleichung $y = s$ in einem Vieleck geschnitten, falls $-1{,}2 < s < 2$ gilt. Geben Sie die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $s$ an und geben Sie das Intervall aller Werte von $s$ an, so dass die zugehörigen Vielecke alle dieselbe Form und denselben Flächeninhalt besitzen. [4 BE]