Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2021

Gegeben sind die Punkte $A(5|-5|12)$, $B(5|5|12)$ und $C(-5|5|12)$.

Im Folgenden wird die abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden $ABCDS$ und $ABCDT$ sind gleich hoch. Der Punkt $T$ liegt im Koordinatenursprung, der Punkt $S$ ebenfalls auf der $z$-Achse.

Die Seitenfläche $BCT$ liegt in einer Ebene $E$.

$E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: ky - 5z = 5k - 60$ mit $k \in \mathbb{R}$.

c

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $12y - 5z = 0$)

e

Alle Ebenen der Schar $E_k: ky - 5z = 5k - 60$ mit $k \in \mathbb{R}$ schneiden sich in einer Gerade. Weisen Sie nach, dass die Kante $\overline{BC}$ auf dieser Gerade liegt.

f

Ermitteln Sie diejenigen Werte von $k$, für die $E_k$ mit der Seitenfläche $ADS$ mindestens einen Punkt gemeinsam hat.

g

Die Seitenfläche $ADT$ liegt in der Ebene $F$. Geben Sie einen Normalenvektor von $F$ an und begründen Sie Ihre Angabe, ohne die Koordinaten von $A$ und $D$ zu verwenden. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$, für den $E_k$ senkrecht zu $F$ steht.