Aufgabe 1 (MMS 1) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Ein Bergbauunternehmen plant, in einer Region Kupfererz abzubauen. Der Abbau wird für $x \ge 0$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit

$$k(x) = 80e^{1{,}5} - (4x + 80) \cdot e^{-0{,}05x + 1{,}5}$$

beschrieben. Dabei ist $x$ die ab Beginn des Abbaus vergangene Zeit in Jahren und $k(x)$ die Gesamtmenge des bis zu diesem Zeitpunkt abgebauten Kupfererzes in Millionen Tonnen.

Im Modell beschreibt die erste Ableitungsfunktion $k'$ von $k$ für $x \ge 0$ die momentane Rate des Abbaus von Kupfererz (momentane Abbaurate) in Millionen Tonnen pro Jahr. Der Graph von $k'$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a)

Zeigen Sie, dass im Modell nach 8 Jahren etwa 22 Millionen Tonnen Kupfererz abgebaut sind. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, bis zu dem 100 Millionen Tonnen Kupfererz abgebaut sind. [3 BE]

Mio. t

Jahre

b)

Die Gleichung $\frac{k(c)-k(0)}{c} = 1{,}9$ mit $c \in \mathbb{R}$ besitzt genau zwei Lösungen. Geben Sie die kleinere der beiden Lösungen an. Deuten Sie die Gleichung und diese Lösung im Sachzusammenhang. [3 BE]