Aufgabe MMS 1 - 2: Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$. Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Gegeben ist die in $]{-\infty}; -1]$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) = \int_x^{-1} h(t)\,\mathrm{d}t$. Ihr Graph wird mit $K$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $H$ und $K$. Für $x \to -\infty$ kommt $K$ der Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x) = \frac{1}{a} \cdot (a-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $h_a$ wird mit $H_a$ bezeichnet.

a

Geben Sie den Grenzwert von $h$ für $x \to -\infty$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand des Funktionsterms.

d

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a \in \mathbb{R}^+$ die Funktionswerte von $h_a$ nur für $-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}$ positiv sind.