Aufgabe MMS 2 - 1: Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{1}{a^3}x^3 - \frac{1}{a}x^2 + x$ und $a \in \mathbb{R}^+$.

c)

Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $f_2$. Weisen Sie nach, dass es genau einen Punkt gibt, der auf jedem Graphen der Schar liegt.

d)

Die Gleichung $f_a(x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $0$ und $$\frac{a^2 + \sqrt{a^3(a-4)}}{2} \quad \text{und} \quad \frac{a^2 - \sqrt{a^3(a-4)}}{2}.$$ Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme.