Aufgabe MMS 1 - 1: Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon t \mapsto 25 - 20\mathrm{e}^{-0{,}014t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f(t)$ die Wassertemperatur in °C. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25 °C.

Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g \colon t \mapsto 5 + 20\mathrm{e}^{-0{,}014t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g(t)$ die Wassertemperatur in °C. Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.

a)

Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12\,^\circ\mathrm{C}$ beträgt.

c)

Ausgehend von einem beliebigen Zeitpunkt $t^*$ dauert es eine gewisse Zeit, bis die Wassertemperatur den Mittelwert zwischen der Temperatur zum Zeitpunkt $t^*$ und der Raumtemperatur angenommen hat. Zeigen Sie, dass diese Zeitdauer unabhängig von $t^*$ ist.

d)

Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: t \mapsto 5 + 20\,\mathrm{e}^{-0{,}014\,t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g(t)$ die Wassertemperatur in $^\circ\mathrm{C}$. Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.

Beschreiben Sie, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden kann.