Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2021

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \mathrm{e}^x$.

Gegeben sind außerdem die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{x}$ sowie die Funktion $h: x \mapsto \frac{1}{x-2} + 4$, deren Definitionsmenge so groß wie möglich gewählt wurde.

Graph von $h$ sowie Gerade $w$ mit der Gleichung $y = x$

Die Umkehrfunktion von $h$ wird mit $k$ bezeichnet.

Betrachtet werden nun die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $u: x \mapsto f(g(x))$ sowie die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v: x \mapsto g(f(x))$. Für die erste Ableitungsfunktion $u'$ von $u$ gilt $u'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$.

d)

Beschreiben Sie, wie der Graph von $h$ aus dem Graphen von $g$ erzeugt werden kann. Geben Sie die Definitionsmenge von $h$ sowie den Grenzwert von $h$ für $x \to +\infty$ an.

e)

Die Abbildung soll den Graphen von $h$ sowie die Gerade $w$ mit der Gleichung $y = x$ darstellen. Ergänzen Sie die fehlenden Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

g)

Alle gemeinsamen Punkte der Graphen von $h$ und $k$ liegen auf der Gerade $w$. Berechnen Sie die x-Koordinaten dieser gemeinsamen Punkte.

h)

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass jede Tangente mit der Steigung $-1$ an den Graphen von $h$ auch Tangente an den Graphen von $k$ ist.

i)

Geben Sie für jede der Funktionen $u$ und $v$ einen Funktionsterm an, der zwar die Variable $x$, aber keine Funktionsbezeichnung wie „f“ oder „g“ enthält. Nennen Sie die Wertemengen von $u$ und $v$.