Aufgabe 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR)

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (WTR)

Aufgabenstellung

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=14x3−3x2+9x−5f(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x^2 + 9x - 5 und Definitionsmenge R\mathbb{R}. Abbildung 1 zeigt den Graphen GfG_f von ff.

Die Funktion ff gehört zur Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen faf_a mit fa(x)=14x3−3x2+ax−5f_a(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x^2 + ax - 5 und a∈Ra \in \mathbb{R}. Der Graph von faf_a wird mit GaG_a bezeichnet.

a)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von GfG_f.

g)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von GaG_a.

x-Koordinate:

y-Koordinate:

h)

Die Wendepunkte aller Graphen GaG_a liegen auf einer zur y-Achse parallelen Gerade. Begründen Sie, dass man dies am Term von faf_a erkennen kann.

i)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, durch den alle Graphen der Schar verlaufen. Bestimmen Sie den Wert von aa so, dass sich die Graphen GaG_a und G3G_3 in diesem Punkt senkrecht schneiden.

x:

y:

a=a =

j)

Untersuchen Sie rechnerisch, für welche Werte von aa der Graph GaG_a keinen Punkt besitzt, in dem die Tangente parallel zur x-Achse verläuft.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR)

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von G_f.

Lösung: Hochpunkt: (2∣3)(2 \mid 3), Tiefpunkt: (6∣−5)(6 \mid -5)

g Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von G_a: x-Koordinate

Lösung: 4

g Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von G_a: y-Koordinate

Lösung: 4a−374a - 37

h Die Wendepunkte aller Graphen G_a liegen auf einer zur y-Achse parallelen Gerade. Begründen Sie, dass man dies am Term von f_a erkennen kann.

Lösung: Der Parameter a tritt nur linear mit x auf, daher enthält die zweite Ableitung kein a und x_W ist unabhängig von a.

i Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, durch den alle Graphen der Schar verlaufen: x-Koordinate

Lösung: 0

i Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, durch den alle Graphen der Schar verlaufen: y-Koordinate

Lösung: -5

i Bestimmen Sie den Wert von a so, dass sich die Graphen G_a und G_3 in diesem Punkt senkrecht schneiden.

Lösung: −13-\frac{1}{3}

j Untersuchen Sie rechnerisch, für welche Werte von a der Graph G_a keinen Punkt besitzt, in dem die Tangente parallel zur x-Achse verläuft.

Lösung: a>12a > 12

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