Aufgabe 1 (MMS 1) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Ein Bergbauunternehmen plant, in einer Region Kupfererz abzubauen. Der Abbau wird für $x \ge 0$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit

$$k(x) = 80e^{1{,}5} - (4x + 80) \cdot e^{-0{,}05x + 1{,}5}$$

beschrieben. Dabei ist $x$ die ab Beginn des Abbaus vergangene Zeit in Jahren und $k(x)$ die Gesamtmenge des bis zu diesem Zeitpunkt abgebauten Kupfererzes in Millionen Tonnen.

Im Modell beschreibt die erste Ableitungsfunktion $k'$ von $k$ für $x \ge 0$ die momentane Rate des Abbaus von Kupfererz (momentane Abbaurate) in Millionen Tonnen pro Jahr. Der Graph von $k'$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

c

Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die momentane Abbaurate ihren größten Wert annimmt, und geben Sie diesen größten Wert an. [3 BE]

d

Ermitteln Sie rechnerisch die Länge des Zeitraums, innerhalb dessen die momentane Abbaurate mindestens fünf Millionen Tonnen Kupfererz pro Jahr beträgt. [3 BE]