Aufgabe 2 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS)

BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder soll auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert werden. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für $x \in [-8; 0]$ modellhaft durch eine der Funktionen $f_a$ beschrieben werden. Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt $S_a(-8 \mid f_a(-8))$ dargestellt, der Absprungpunkt durch $A_a(0 \mid f_a(0))$. Der Untergrund wird im Längsschnitt durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Wirklichkeit.

Für die Schanze wurde $a = 3{,}6$ gewählt. An die Schanze schließen sich aufeinanderfolgende Hügel aus Erde an. Die Profillinie dieser Hügel wird im Modell für $x \ge 0$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g \colon x \mapsto \frac{5}{4} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right) + \frac{3}{2}$ beschrieben. Im Modell wird von senkrechten Seitenflächen der Hügel ausgegangen, die jeweils durch eine Böschung gestützt werden; dazwischen beträgt die Breite der Hügel 4 m.

Die Flugbahnen der Sportler nach dem Absprung lassen sich im Modell vereinfachend mithilfe quadratischer Funktionen beschreiben, deren Graphen im Punkt A ohne Knick an den Graphen von $f_{3{,}6}$ anschließen.

a)

Ermitteln Sie alle Werte von $a$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Der Startpunkt liegt mindestens so hoch wie der Absprungpunkt.

Die Schanze schließt im Startpunkt mit der Horizontalen einen Winkel mit einer Größe von höchstens $75^\circ$ ein.

b)

Geben Sie für jeden der folgenden Terme die Bedeutung im Sachzusammenhang an:

g)

Für einen Sprung eines Sportlers ist $b = -\frac{1}{4}$. Ermitteln Sie auf der Grundlage des Modells die größte Höhe, die der Sportler während der Flugphase gegenüber dem Hügel erreicht.

h)

Bei einem zweiten Sprung erreicht der Sportler eine Höhe von $1{,}5\text{ m}$ gegenüber dem Absprungpunkt und landet anschließend auf einem der Hügel. Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells die horizontal gemessene Sprungweite.