Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS)

1 a) Der Parameter a durchläuft die Werte von 0,5 bis 5. Beschreiben Sie, wie sich dabei die Lage der Extrempunkte von G_a ändert.

Lösung: Mit zunehmendem Wert von a bewegt sich der Hochpunkt in positive x-Richtung und in positive y-Richtung, der Tiefpunkt in negative x-Richtung und in negative y-Richtung.

1 b) Weisen Sie nach, dass alle Graphen G_a einen gemeinsamen Punkt und in diesem Punkt die gleiche Steigung haben.

Lösung: Da $f_a(0) = 2$ für alle $a \in \mathbb{R}^+$, verlaufen alle Graphen der Schar durch den Punkt $(0 \mid 2)$. Da $f_a'(0) = \frac{5}{4}$ für alle $a \in \mathbb{R}^+$, haben alle Graphen der Schar in diesem Punkt die gleiche Steigung.

1 b) Geben Sie die Gleichung der Tangente an die Graphen in diesem Punkt an.

Lösung: y = \frac{5}{4}x + 2

1 c) Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von G_a: Hochpunkt

Lösung: H\left(\frac{\sqrt{5}}{2}a \;\middle|\; 2 + \frac{5\sqrt{5}}{12}a\right)

1 c) Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von G_a: Tiefpunkt

Lösung: T\left(-\frac{\sqrt{5}}{2}a \;\middle|\; 2 - \frac{5\sqrt{5}}{12}a\right)

1 d) Untersuchen Sie mithilfe der Lage des Tiefpunkts von G_a, wie die Anzahl der Nullstellen von f_a vom Wert des Parameters a abhängt.

Lösung: Liegt der Tiefpunkt von $G_a$ auf der x-Achse, hat $f_a$ genau zwei Nullstellen: für $a = \frac{24}{25}\sqrt{5}$. Ist $a < \frac{24}{25}\sqrt{5}$, liegt der Tiefpunkt oberhalb der x-Achse und $f_a$ hat genau eine Nullstelle. Ist $a > \frac{24}{25}\sqrt{5}$, liegt der Tiefpunkt unterhalb der x-Achse und $f_a$ hat genau drei Nullstellen.

1 e) & 1 f) Zeichnungen des Graphen G_3,6 und der beiden Strecken der Länge 2

Lösung: Teilaufgabe 1 e): Teilaufgabe 1 f):

1 f) Beschreiben Sie, wie die x-Koordinaten der Endpunkte beider Strecken rechnerisch ermittelt werden können.

Lösung: Die Gleichung $f(x) = f(x+2)$ liefert die x-Koordinaten jeweils eines Endpunkts der beiden Strecken. Für jede Strecke ergibt sich daraus die x-Koordinate des anderen Endpunkts durch Addition von 2.