Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR)

b) Bestimmen Sie rechnerisch Monotonie und Krümmungsverhalten von $G_f$.

Lösung: $f'(x) = -x \cdot e^x$, $G_f$ ist für $x < 0$ streng monoton steigend, für $x > 0$ streng monoton fallend, für $x < -1$ linksgekrümmt und für $x > -1$ rechtsgekrümmt.

c) Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ in dessen Wendepunkt.

Lösung: $y = \frac{1}{e}x + \frac{2}{e}$

d) Auf der y-Achse gibt es Punkte, die auf einer Tangente an $G_f$ liegen. Geben Sie die y-Koordinaten dieser Punkte an und begründen Sie Ihre Angabe mithilfe des Verlaufs von $G_f$.

Lösung: Die y-Koordinaten nehmen alle positiven reellen Zahlen an ($y > 0$).

e) Zeichnen Sie ein solches Rechteck in die Abbildung ein.

Lösung: Ein Rechteck $ABCD$ mit Eckpunkten $A(u|0)$, $B(1|0)$, $C(1|f(u))$ und $D(u|f(u))$ für ein $u \in ]-\infty; 1[$ eingezeichnet.

e) Formulieren Sie die zugehörige Aufgabenstellung und beschreiben Sie die Bedeutung jeder Aussage im Zusammenhang mit den beschriebenen Rechtecken.

Lösung: Aufgabenstellung: Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt. Bedeutungen der Aussagen: I R(u) gibt die Flächeninhalte der Rechtecke in Abhängigkeit von u an. II Der Flächeninhalt des Rechtecks mit u = -1 ist maximal. III Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa 1,5.