Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS)

BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine $3\text{ m}$ breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für $x \in [-8; 0]$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{5}{256}x^3 + \frac{3}{4}x + 2$ beschrieben werden. Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von $f$.

Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt $S(-8 \mid f(-8))$ dargestellt, der Absprungpunkt durch $A(0 \mid f(0))$. Der Untergrund wird im Längsschnitt durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Abbildung 2 zeigt grau markiert eine Seite der Schanze, die vollständig mit einer ebenen Verkleidung versehen ist. Die beiden seitlichen Kanten der Verkleidung stehen senkrecht zum Untergrund, der obere Rand der Verkleidung hat die Form der Profillinie.

An die Schanze soll sich ein für die Landung geeigneter Hügel aus Erde anschließen. Mögliche Profillinien dieses Hügels werden im Modell für $x \ge 0$ durch Graphen der Funktionen $g_a$ mit $g_a(x) = x \cdot e^{-a \cdot x^2}$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben.

a)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts, der im Modell den tiefsten Punkt der Schanze darstellt. Bestimmen Sie rechnerisch die Höhendifferenz zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Schanze.

b)

Veranschaulichen Sie in Abbildung 1 die mittlere Steigung der Schanze zwischen Startpunkt und Absprungpunkt. Bestimmen Sie diese Steigung.

c)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Schanze im Startpunkt mit der Horizontalen einschließt.

d)

Zur Stabilisierung der Verkleidung soll an der entsprechenden Seite der Schanze eine dünne Stahlschiene so angebracht werden, dass sie von einem Punkt des oberen Rands bis zu der in Abbildung 2 unteren rechten Ecke der Verkleidung reicht. Ermitteln Sie rechnerisch, wie lang diese Stahlschiene mindestens sein muss.

f)

Der Parameter $a$ durchläuft die Werte von $0{,}01$ bis $0{,}05$. Beschreiben Sie, wie sich dabei die Lage des Hochpunkts des Graphen von $g_a$ ändert.

g)

Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von $a$, für den der höchste Punkt des Hügels auf der gleichen Höhe wie der Absprungpunkt der Schanze liegt.

h)

Für die Profillinie des Hügels wird $a = \frac{1}{24}$ gewählt.

Die Profillinie des Hügels fällt – in Bewegungsrichtung der Sportler betrachtet – in einem Punkt am stärksten ab. Beschreiben Sie, wie die Koordinaten des entsprechenden Punkts im Modell rechnerisch ermittelt werden können.

i)

Skizzieren Sie den Graphen von $g_{\frac{1}{24}}$ in Abbildung 1.