Aufgabe (MMS 2) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{16} \cdot (x^3 + 2x^2 - 4x - 8)$. Der Graph von $f$ wird mit $G$ bezeichnet.

Betrachtet wird ein $3\text{ m}$ langes, geradliniges Stück einer Dachrinne aus Blech. Das Blech ist $0{,}7\text{ mm}$ dick, was in der Abbildung im dargestellten Querschnitt veranschaulicht wird. Die dargestellte Profillinie der Innenseite der Dachrinne kann im verwendeten Koordinatensystem für $-2 \le x \le 2$ durch $G$ beschrieben werden. Dabei entspricht eine Längeneinheit $5\text{ cm}$ in der Realität.

b)

Der Tiefpunkt von $G$ hat die x-Koordinate $\frac{2}{3}$. Begründen Sie, dass $G$ auch einen Hochpunkt besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an. [3 BE]

c)

$G$ besitzt genau einen Wendepunkt. Zeigen Sie, dass der Wendepunkt die x-Koordinate $-\frac{2}{3}$ besitzt und dass die Tangente an $G$ im Wendepunkt mit der x-Achse einen Winkel der Größe $45^\circ$ einschließt. [3 BE]

d)

Neben dem Wendepunkt gibt es zwei weitere Punkte auf $G$, in denen die jeweilige Tangente an den Graphen mit der x-Achse einen Winkel der Größe $45^\circ$ einschließt. Berechnen Sie die x-Koordinaten dieser zwei weiteren Punkte. [2 BE]

e)

Dieses Stück der Dachrinne soll in einen quaderförmigen Karton verpackt werden, der über $3\text{ m}$ lang ist und innen einen Querschnitt mit den Maßen $21\text{ cm}$ und $9{,}5\text{ cm}$ hat. Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Karton als Verpackung für dieses Stück der Dachrinne geeignet ist. [3 BE]