Aufgabe WTR 3 - 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = k \cdot (x + 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ und $k \in \mathbb{R},\; k \neq 0$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Im Folgenden sei $k > 0$.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_k$ mit $F_k(x) = -10k \cdot (x + 20) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ ist eine Stammfunktion von $f_k$.

b)

Für jeden Wert von $k$ besitzt $G_k$ genau einen Extrempunkt. Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art des Extrempunkts von $G_k$ in Abhängigkeit von $k$.

$($

$|$

$)$

f)

Betrachtet werden reelle Werte von $u$, die größer als $-10$ sind. Ausgehend von den Punkten $(-10 \mid 0)$ und $(u \mid 0)$ stellen die folgenden vier Schritte die Lösung einer Aufgabenstellung in einem geometrischen Zusammenhang dar:

(1) $p_k(u) = \frac{1}{2} \cdot (u + 10) \cdot f_k(u)$

(2) $p_k'(u) = 0 \iff u = 10$

(3) Es gilt: $p_k''(10) < 0$

(4) Ergebnis: $p_k(10) \approx 73{,}6 \cdot k$

Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie die Schritte.