Aufgabe WTR 3 - 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Der abgebildete Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 3 \cdot (x + 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ stellt für $0 \le x \le 44$ den Längsschnitt einer Rutschbahn dar. Der Anfang der Rutschbahn wird im Modell durch den Punkt $(0 \mid f(0))$ beschrieben, ihr Ende durch den Punkt $(44 \mid f(44))$. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse den horizontalen Erdboden. Eine Längeneinheit entspricht $10\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Für die erste und die zweite Ableitungsfunktion von $f$ gilt: $f'(x) = -0{,}3x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ bzw. $f''(x) = 0{,}03 \cdot (x - 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$.

In einer Zusammenstellung der Sicherheitskriterien für Rutschbahnen auf öffentlichen Spielplätzen einer Gemeinde heißt es:

I

Der durch den Anfangspunkt und den Endpunkt der Rutschbahn festgelegte Winkel gegenüber der Horizontalen darf eine Größe von $45^\circ$ nicht überschreiten.

II

Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen mit einer Größe über $60^\circ$ sind an keinem Punkt der gesamten Rutschbahn zulässig.

c

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Rutschbahn das Sicherheitskriterium II erfüllt. [4 BE]

d

Die Rutschbahn wird durch eine Strebe gestützt. Die Strebe kann im Modell durch eine Strecke beschrieben werden, die vom Punkt $\mathrm{P}(40 \mid f(40))$ senkrecht zur Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $\mathrm{P}$ verläuft. Berechnen Sie die Länge der Strebe zwischen der Rutschbahn und dem Erdboden. [6 BE]