Aufgabe WTR 2 - 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Die Leitung eines großen Unternehmens versendet jeden Arbeitstag um 7:00 Uhr eine E-Mail mit tagesaktuellen Informationen an alle Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter. Diese wurden gebeten, nach dem Lesen der E-Mail eine Lesebestätigung zu versenden.

Die folgende Tabelle zeigt für einen bestimmten Tag, wie viele Lesebestätigungen bei der Leitung des Unternehmens bis zum jeweiligen Zeitpunkt bereits eingegangen sind.

Zeitpunkt · 7:30 Uhr · 8:00 Uhr · 8:30 Uhr · 9:00 Uhr · 9:30 Uhr · 10:00 Uhr · …… · 14:30 Uhr · 15:00 Uhr · ……

Anzahl der bis dahin eingegangenen Lesebestätigungen · 252 · 899 · 1701 · 2627 · 3503 · 4364 · · 7552 · 7572

Beispielsweise sind von 7:00 Uhr bis 10:00 Uhr 4364 Lesebestätigungen eingegangen.

Auf der Grundlage der über viele Tage erfassten Lesebestätigungen wurde mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u\colon x \mapsto 100x^3 - 900x^2 + 2300x$ und $v\colon x \mapsto 20x^2 - 520x + 2880$ die Funktion $k$ entwickelt:

$$k\colon x \mapsto \begin{cases} u(x) & \text{für } 0 \le x < 3 \\ v(x) & \text{für } 3 \le x \le 8 \end{cases}$$

Die Funktion $k$ beschreibt modellhaft für einen Zeitraum von acht Stunden eines Arbeitstages die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der eingegangenen Lesebestätigungen. Dabei ist $x$ die seit 7:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $k(x)$ die momentane Änderungsrate der Anzahl der seit 7:00 Uhr eingegangenen Lesebestätigungen in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$.

a

Ermitteln Sie mithilfe der Tabelle für den betrachteten Tag, wie viele Lesebestätigungen im Zeitraum von 8:30 Uhr bis 10:00 Uhr im Mittel pro Stunde eingegangen sind. [3 BE]

b

Berechnen Sie $k(2)$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. [3 BE]

c

Es gilt $v(x) = 20 \cdot (x - 18) \cdot (x - 8)$. Begründen Sie, dass die Funktion $v$ nicht geeignet ist, die momentane Änderungsrate auch für den Zeitraum nach 15:00 Uhr zu beschreiben. [3 BE]