Aufgabe WTR 2 - 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (WTR) (2024)

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen fa;b:x↦ax3−bxf_{a;b}: x \mapsto ax^3 - bx mit a,b∈R+a, b \in \mathbb{R}^+. Die Abbildung zeigt den Graphen einer der Funktionen der Schar.

Die Funktion der Schar, deren Graph in der Abbildung dargestellt ist, wird mit ff bezeichnet; ihr Funktionsterm ist f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x.

b)

Weisen Sie in Abhängigkeit von aa und bb nach, dass der Graph von fa;bf_{a;b} einen Tiefpunkt mit der x-Koordinate b3a\sqrt{\frac{b}{3a}} hat. Begründen Sie, dass er zudem einen Hochpunkt besitzt und dass dieser eine kleinere x-Koordinate hat als der Tiefpunkt.

d)

Die Tangente an den Graphen von ff im Punkt A(2∣0)A(2|0), die x-Achse und die Gerade gg mit der Gleichung y=−x−2y = -x - 2 schließen ein Dreieck ein. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

A=A =

Aufgabenstellung: Aufgabe WTR 2 - 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

b) Weisen Sie in Abhängigkeit von a und b nach, dass der Graph von f_{a;b} einen Tiefpunkt mit der x-Koordinate \sqrt{b/(3a)} hat. Begründen Sie, dass er zudem einen Hochpunkt besitzt und dass dieser eine kleinere x-Koordinate hat als der Tiefpunkt.

Lösung: fa;b′(x)=3ax2−bf'_{a;b}(x) = 3ax^2 - b; fa;b′(b3a)=3a⋅b3a−b=0f'_{a;b}\left(\sqrt{\frac{b}{3a}}\right) = 3a\cdot \frac{b}{3a} - b = 0 fa;b′′(x)=6axf''_{a;b}(x) = 6ax; fa;b′′(b3a)=6a⋅b3a>0f''_{a;b}\left(\sqrt{\frac{b}{3a}}\right) = 6a\cdot \sqrt{\frac{b}{3a}} > 0 Aufgrund der Punktsymmetrie hat der Graph von fa;bf_{a;b} an der Stelle −b3a-\sqrt{\frac{b}{3a}} einen Hochpunkt; dessen x-Koordinate ist damit kleiner als die des Tiefpunkts.

d) Die Tangente an den Graphen von f im Punkt A(2|0), die x-Achse und die Gerade g mit der Gleichung y = -x - 2 schließen ein Dreieck ein. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

Lösung: 649\frac{64}{9}

Die ausführliche Erklärung Schritt für Schritt (mit KI) gibt es mit Premium. Premium

Löse sie direkt hier: automatische Korrektur, Hinweise und Lösung Schritt für Schritt.

‹ Aufgabe WTR 1 - 2 - Differentialrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024 · Aufgabe WTR 2 - 2 - Differentialrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024 ›

Mehr Aufgaben zu Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte