Aufgabe WTR 1 - 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $w_{a;b;c}: x \mapsto \frac{a}{b+e^{c \cdot x}}$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$ und $c \in \mathbb{R}$. Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar.

Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion $w_{40; 1; -0{,}2}$ beschrieben, die im Folgenden mit $w$ bezeichnet wird. Es gilt also $w(x) = \frac{40}{1+e^{-0{,}2 \cdot x}}$. Dabei ist $x$ die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und $w(x)$ die Anzahl der Seeadler.

Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus der Schar der Funktionen $w_{a;b;c}$ beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von $a$, $b$ und $c$:

(1) $\frac{a}{b+1} = 20$

(2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{a}{b+e^{c \cdot x}} = 45$

(3) $\frac{a}{b+e^{15 \cdot c}} = 35$

c)

Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(0 \mid w(0))$ hat die Steigung $2$. Würde die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe dieser Tangente beschrieben werden, so ergäbe sich für den Zeitpunkt vier Jahre nach der Ansiedlung eine bestimmte Anzahl von Seeadlern. Untersuchen Sie, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von $w$ ergeben würde.