Aufgabe MMS 2 - 2: Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Für ein Umweltschutzprojekt sollen zwei Unterwasserdrohnen U1 und U2 in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten lassen sich für $0 \le t \le 30$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschreiben, wobei gilt:

$$v(t) = -\frac{6}{25}t \cdot (4t - 25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}t}$$$$w(t) = \frac{1}{216}t^3 - \frac{1}{6}t^2 + t$$

Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, $v(t)$ die Geschwindigkeit von U1 in Meter pro Minute und $w(t)$ die Geschwindigkeit von U2 in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.

a)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. [3 Punkte]

min

m/min

b)

Mit $v'$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet.

Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v(t) < 0$ und $v'(t) > 0$.

Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von U1 in diesem Zeitraum. [2 Punkte]