Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2018

Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\text{ m}$ in der Realität; die $x$-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.

Die Kugel wird aus der Ruhelage (R) beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt (A) die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d. h. der horizontale Abstand zwischen Abstoßpunkt und Auftreffpunkt auf dem Boden.

Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = 0{,}4 + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{0{,}5x}$ und $x \in [-2; 0]$ beschrieben werden.

Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_a$ mit $p_a(x) = -ax^2 + bx + 2$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.

f)

Bei der Flugkurve zu $a = 0{,}1$ beträgt die Stoßweite $10\text{ m}$. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Kugel auf den Boden auftrifft.

g)

Zeigen Sie, dass $\left(\frac{0{,}4}{a} \;\middle|\; 2 + \frac{0{,}16}{a}\right)$ Hochpunkt des Graphen von $p_a$ ist.

h)

Es gibt eine Gerade, auf der die Hochpunkte aller Graphen von $p_a$ liegen. Berechnen Sie die Steigung dieser Gerade.

j)

Bei einem Stoß beträgt die Stoßweite $20\text{ m}$. Berechnen Sie die Höhe der Flugkurve.