Abitur Niedersachsen Mathematik 2023 · GK · Teil B · Stochastik (WTR)

Ein Großhändler bietet Rohkaffee in Säcken zu jeweils 60 kg an. 96 % aller Säcke entsprechen den Qualitätsanforderungen.

Ein Hersteller von Röstkaffee präsentiert auf einer Messe Kaffee in fünf unterschiedlichen Röstgraden.

a)

Der Hersteller bietet jedem Messebesucher an, Kaffee mit drei verschiedenen Röstgraden zu probieren und die Reihenfolge dafür festzulegen. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, die jeder Besucher dabei hat.

b)

Für die Messe wurden $200$ Probepackungen vorbereitet; $10$ dieser Probepackungen wurde jeweils ein Gutschein beigelegt. An $180$ Besucher wird jeweils eine zufällig ausgewählte Probepackung verschenkt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den verschenkten Packungen alle Packungen mit einem Gutschein befinden.

Ein Großhändler bietet Rohkaffee in Säcken zu jeweils 60 kg an. 96 % aller Säcke entsprechen den Qualitätsanforderungen.

a

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Vertrag abgeschlossen wird.

%

b

Beurteilen Sie, ohne zu rechnen, ob es für den Großhändler von Vorteil sein könnte, wenn im möglichen zweiten Schritt – bei sonst gleichen Bedingungen – nur 15 Säcke untersucht würden.

Ein Großhändler bietet Rohkaffee in Säcken zu jeweils 60 kg an. 96 % aller Säcke entsprechen den Qualitätsanforderungen.

Jeder Sack, der den Qualitätsanforderungen nicht entspricht, weist mindestens einen der beiden folgenden Mängel auf:

$M_1$:

„Der Kaffee weist zu viele Verunreinigungen auf.“

$M_2$:

„Der Sack enthält weniger als 60 kg Kaffee.“

Die beiden Mängel treten unabhängig voneinander auf. Ein Sack wird zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Sack den Mangel $M_1$ aufweist, beträgt 1 %.

c

Beschreiben Sie das Ereignis $M_1 \cap \overline{M_2}$ im Sachzusammenhang.

d

Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ausgewählte Sack weniger als 60 kg Kaffee enthält, wobei der Kaffee nicht zu viele Verunreinigungen aufweist, 3 % beträgt.

e

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ausgewählte Sack weniger als 60 kg Kaffee enthält.

Die Abbildung 1 zeigt das Netz eines Würfels.

Der Würfel wird 30-mal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft die Zahl „4“ erzielt wird.

a)

Begründen Sie, dass $X$ binomialverteilt mit dem Parameter $p = \frac{1}{3}$ ist.

[2 BE]

b)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl „4“ häufiger erzielt wird als die Zahl „2“.

[2 BE]

c)

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term

$$\binom{29}{8} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^8 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{21} \cdot \frac{1}{3}$$

berechnet werden kann.

[2 BE]

d)

Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Summe der erzielten Zahlen.

[3 BE]

Die Abbildung 1 zeigt das Netz eines Würfels.

Der Würfel wird 30-mal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft die Zahl „4“ erzielt wird.

Zwei Personen werfen den Würfel abwechselnd so lange, bis eine Person mit einem Wurf eine andere Zahl erzielt als die andere Person beim unmittelbar vorhergehenden Wurf. Die Person, die dabei die größere Zahl erzielt hat, gewinnt das Spiel.

e)

Begründen Sie, dass mit dem Term $1-\left(\frac{1}{3}\right)^3-\left(\frac{2}{3}\right)^3$ die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass das Spiel spätestens mit dem dritten Wurf entschieden wird. [2 BE]

f)

Eine der beiden Personen beginnt das Spiel. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person verliert und der Würfel höchstens viermal geworfen wird. [3 BE]

Die Abbildung 1 zeigt das Netz eines Würfels.

Der Würfel wird 30-mal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft die Zahl „4“ erzielt wird.

Aufgabe 2

Die Abbildung 2 zeigt das Netz eines weiteren Würfels.

Der Würfel wird 7500-mal geworfen. Bei den ersten 1500 Würfen wird 735-mal die Zahl „1“ und 285-mal die Zahl „6“ erzielt.

a)

Bestimmen Sie für die ersten 1500 Würfe die relative Häufigkeit der Zahl „3“.

b)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei höchstens 17 % der 7500 Würfe die Zahl „6“ erzielt wird.

Von den Lehrkräften eines Landes arbeiten 25 % an einem Gymnasium. 15 % der Lehrkräfte sind weiblich und arbeiten an einem Gymnasium. Insgesamt sind 72 % der Lehrkräfte weiblich.

a)

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

$G$

$\overline{G}$

Summe

$W$

%

%

%

$\overline{W}$

%

%

%

Summe

%

%

100 %

b)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Lehrkraft weiblich ist oder an einem Gymnasium arbeitet.

%

c)

Eine zufällig ausgewählte Lehrkraft ist weiblich. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie an einem Gymnasium arbeitet.

%

Von den Lehrkräften eines Landes arbeiten 25 % an einem Gymnasium. 15 % der Lehrkräfte sind weiblich und arbeiten an einem Gymnasium. Insgesamt sind 72 % der Lehrkräfte weiblich.

100 Lehrkräfte werden zufällig ausgewählt.

d)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen 100 Lehrkräften die Anzahl derer, die nicht am Gymnasium arbeiten, mindestens viermal so groß ist, wie die Anzahl derer, die am Gymnasium arbeiten.

%

e)

Geben Sie die Bedeutung des Terms $\sum_{k=75}^{100} \binom{100}{k} \cdot 0{,}75^k \cdot 0{,}25^{100-k}$ im Sachzusammenhang an.

Von den Lehrkräften eines Landes arbeiten 25 % an einem Gymnasium. 15 % der Lehrkräfte sind weiblich und arbeiten an einem Gymnasium. Insgesamt sind 72 % der Lehrkräfte weiblich.

2 In einem Behälter befinden sich vier weiße und fünf schwarze Kugeln. Dazu wird ein Spiel angeboten. Der Spieler bezahlt zunächst einen Einsatz von 2 Euro; dieser Betrag wird neben dem Behälter ausgelegt. Anschließend muss der Spieler aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel zufällig ziehen und wieder zurücklegen. Nach jedem der beiden Züge wird der ausliegende Betrag vom Spielleiter verdoppelt, wenn eine weiße Kugel gezogen wird, und sonst halbiert. Nach dem Spiel erhält der Spieler den dann ausliegenden Betrag.

a

Der Term $8\cdot \left(\frac{4}{9}\right)^2 + 2\cdot 2\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{9} + \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{5}{9}\right)^2$ gibt den Erwartungswert für den Betrag in Euro an, den der Spieler nach dem Spiel erhält. Geben Sie die Bedeutung des zweiten der drei Summanden im Sachzusammenhang an und erläutern Sie Ihre Angabe.

b

Ermitteln Sie, wie das Verhältnis der Anzahlen der weißen und schwarzen Kugeln im Behälter gewählt werden müsste, damit Spieler und Spielleiter die gleiche Gewinnerwartung haben.