Abitur Hessen Mathematik 2019 · GK · Teil A · Lineare Algebra

Aufgabengruppe 1

Vögel einer bestimmten Art brüten einmal pro Jahr in einem der beiden Brutgebiete A und B. Das abgebildete Übergangsdiagramm zeigt die Änderung der Verteilung der Vögel auf die beiden Brutgebiete von einem Jahr zum nächsten.

a

Stellen Sie diese Änderung der Verteilung durch eine Gleichung unter Verwendung einer Matrix dar. Geben Sie die Bedeutung aller in der Gleichung auftretenden Variablen an. [3 BE]

b

In einem Jahr brüten alle Vögel im Gebiet A. Berechnen Sie den prozentualen Anteil der Vögel, die dort zwei Jahre später brüten. [2 BE]

%

Betrachtet wird eine Population von Käfern in ihren unterschiedlichen Entwicklungsstadien. Zusammensetzungen der Population werden durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} E \\ L \\ K \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $E$ die Anzahl der Eier, $L$ die Anzahl der Larven und $K$ die Anzahl der voll entwickelten Käfer ist. Die Entwicklung der Population von einem Monat zum nächsten wird durch die Matrix $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben.

a)

Geben Sie die Matrix $M^2$ an. [1 BE]

b)

Es gilt $M^3 = \begin{pmatrix} \frac{a}{8} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{a}{8} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a}{8} \end{pmatrix}$. Interpretieren Sie diese Gleichung im Sachzusammenhang.

Beschreiben Sie in Abhängigkeit von $a$, wie sich die Population langfristig entwickelt. [4 BE]