Aufgabe Vorschlag C - Aufgabe 1 - Sinusgrößen und komplex… · Abitur Hessen Elektrotechnik LK 2022

1.1 Berechnen Sie im elektrischen Ersatzschaltbild der Leuchte alle komplexen Teilspannungen, die komplexen Teilströme sowie die fehlenden Bauteilwerte.

Lösung: $$\cos\varphi_{\mathrm{Lampe}} = 0{,}45 \Rightarrow \varphi_{\mathrm{Lampe}} = \arccos(0{,}45) = 63{,}26^{\circ}\ (\text{induktiv})$$ $$\underline{I}_{\mathrm{La}} = 1{,}8\,\mathrm{A}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}26^{\circ}}$$ $$\underline{U}_{\mathrm{R}} = \underline{I}_{\mathrm{La}} \cdot R_{\mathrm{Cu}} = 1{,}8\,\mathrm{A}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}26^{\circ}} \cdot 6\,\Omega = 10{,}8\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}26^{\circ}}$$ $$R_{\mathrm{La}} = \frac{P_{\mathrm{R,La}}}{I_{\mathrm{La}}^2} = \frac{150\,\mathrm{W}}{(1{,}8\,\mathrm{A})^2} = 46{,}3\,\Omega$$ $$\underline{U}_{\mathrm{La}} = \underline{I}_{\mathrm{La}}\cdot R_{\mathrm{La}} = 1{,}8\,\mathrm{A}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}26^{\circ}}\cdot 46{,}3\,\Omega = 83{,}34\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}26^{\circ}}$$ $$\underline{U}_{\mathrm{Sp}} = \underline{U} - \underline{U}_{\mathrm{R}} - \underline{U}_{\mathrm{La}} = 231\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}0^{\circ}} - 10{,}8\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}26^{\circ}} - 83{,}34\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}26^{\circ}} = 206{,}53\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}24^{\circ}}$$ $$\underline{U}_{\mathrm{Dr}} = \underline{U}_{\mathrm{Sp}} + \underline{U}_{\mathrm{R}} = 206{,}53\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}24^{\circ}} + 10{,}8\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}26^{\circ}} = 207{,}3\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}21^{\circ}}$$ $$S_{\mathrm{La}} = U\cdot I_{\mathrm{La}} = 231\,\mathrm{V}\cdot 1{,}8\,\mathrm{A} = 415{,}8\,\mathrm{VA}$$ $$P_{\mathrm{G,La}} = S_{\mathrm{La}}\cdot \cos\varphi_{\mathrm{Lampe}} = 415{,}8\,\mathrm{VA}\cdot 0{,}45 = 187{,}1\,\mathrm{W}$$ $$P_{\mathrm{R,Cu}} = U_{\mathrm{R}}\cdot I_{\mathrm{La}} = 10{,}8\,\mathrm{V}\cdot 1{,}8\,\mathrm{A} = 19{,}44\,\mathrm{W}$$ $$P_{\mathrm{R,Fe}} = P_{\mathrm{G,La}} - P_{\mathrm{R,La}} - P_{\mathrm{R,Cu}} = 187{,}1\,\mathrm{W} - 150\,\mathrm{W} - 19{,}44\,\mathrm{W} = 17{,}67\,\mathrm{W}$$ $$R_{\mathrm{Fe}} = \frac{U_{\mathrm{Sp}}^2}{P_{\mathrm{R,Fe}}} = \frac{(206{,}53\,\mathrm{V})^2}{17{,}67\,\mathrm{W}} = 2414\,\Omega$$ $$\underline{I}_{\mathrm{Fe}} = \frac{\underline{U}_{\mathrm{Sp}}}{R_{\mathrm{Fe}}} = \frac{206{,}53\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}24^{\circ}}}{2414\,\Omega} = 85{,}56\,\mathrm{mA}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}24^{\circ}}$$ $$\underline{I}_{\mathrm{L}} = \underline{I}_{\mathrm{La}} - \underline{I}_{\mathrm{Fe}} = 1{,}8\,\mathrm{A}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}26^{\circ}} - 85{,}56\,\mathrm{mA}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}24^{\circ}} = 1{,}798\,\mathrm{A}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}66^{\circ}}$$ $$X_{\mathrm{L}} = \frac{U_{\mathrm{Sp}}}{I_{\mathrm{L}}} = \frac{206{,}53\,\mathrm{V}}{1{,}798\,\mathrm{A}} = 114{,}87\,\Omega$$ $$L_{\mathrm{Sp}} = \frac{X_{\mathrm{L}}}{2\pi\cdot f} = \frac{114{,}87\,\Omega}{2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}} = 365{,}6\,\mathrm{mH}$$ $$X_{\mathrm{C}} = \frac{1}{2\pi\cdot f\cdot C} = \frac{1}{2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 18\,\mu\mathrm{F}} = 176{,}84\,\Omega \Rightarrow \underline{X}_{\mathrm{C}} = 176{,}84\,\Omega\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}90^{\circ}}$$ $$\underline{I}_{\mathrm{C}} = \frac{\underline{U}}{\underline{X}_{\mathrm{C}}} = \frac{231\,\mathrm{V}}{176{,}84\,\Omega\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}90^{\circ}}} = 1{,}306\,\mathrm{A}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}90^{\circ}}$$ $$\underline{I}_{\mathrm{Rc}} = \frac{\underline{U}}{R_{\mathrm{C}}} = \frac{231\,\mathrm{V}}{1{,}8\,\mathrm{M}\Omega} = 128{,}34\,\mu\mathrm{A}$$ $$\underline{I}_{\mathrm{R,C}} = \underline{I}_{\mathrm{C}} + \underline{I}_{\mathrm{Rc}} \approx 1{,}306\,\mathrm{A}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}90^{\circ}}$$ $$\underline{I} = \underline{I}_{\mathrm{La}} + \underline{I}_{\mathrm{R,C}} = 1{,}8\,\mathrm{A}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}26^{\circ}} + 1{,}306\,\mathrm{A}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}90^{\circ}} = 0{,}864\,\mathrm{A}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}20{,}42^{\circ}}$$

1.3 Ersatzwiderstand $R_{\mathrm{G}}$ der Impedanz $\underline{Z}$

Lösung: $250{,}56\ \Omega$

1.3 Ersatzinduktivität $L_{\mathrm{G}}$ der Impedanz $\underline{Z}$

Lösung: $297\ \mathrm{mH}$ / $0{,}297\ \mathrm{H}$

Zeichnungen: 1.2 Spannungszeigerdiagramm und 1.3 Reihenersatzschaltung

Lösung: 1.2 Spannungszeigerdiagramm: Zeigerdiagramm in der Gaußschen Zahlenebene: - $\underline{U}_{\mathrm{C}} = 231\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}0^{\circ}}$ entlang der positiven reellen Achse. - $\underline{U}_{\mathrm{Dr}} \approx 207\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}21^{\circ}}$ (bzw. Hinweis: $205\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}20^{\circ}}$) im 1. Quadranten. - $\underline{U}_{\mathrm{La}} \approx 83{,}3\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}63{,}3^{\circ}}$ (bzw. Hinweis: $80\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}61^{\circ}}$) im 4. Quadranten. - Vektorielle Summe: $\underline{U}_{\mathrm{Dr}} + \underline{U}_{\mathrm{La}} = \underline{U}_{\mathrm{C}}$. 1.3 Ersatzschaltung: Reihenschaltung aus dem ohmschen Ersatzwiderstand $R_\mathrm{G}$ und der Ersatzinduktivität $L_\mathrm{G}$.