Abitur BW Mathematik 2018 · LK · Teil B · Stochastik (CAS)

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %.“ auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

a)

800 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Berechnen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

A: „Genau 30 der Teile sind fehlerhaft.“

B: „Mindestens 5 % der Teile sind fehlerhaft.“

b)

Ermitteln Sie, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 100 Teile keinen Fehler haben.

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %.“ auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %.“ auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

c)

Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

$k =$

d)

Das neue Granulat ist teurer als das vorherige. Geben Sie an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen Sie Ihre Angabe.

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.

Farbe · Blau · Rot · Grün

Mittelpunktswinkel · $180^\circ$ · $120^\circ$ · $60^\circ$

Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist $\frac{1}{6}$.

a)

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, ebenfalls $\frac{1}{6}$ beträgt.

b)

Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

Euro

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.

Farbe · Blau · Rot · Grün

Mittelpunktswinkel · $180^\circ$ · $120^\circ$ · $60^\circ$

Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist $\frac{1}{6}$.

c Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei wird der blaue Sektor vergrößert. Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die drei Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.

Bestimmen Sie die Größe des zum blauen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels.

°

Wird den Tageseinnahmen eines Cafés ein Geldschein zufällig entnommen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser nicht mehr umlauffähig ist, $2\,\%$.

a)

Unter den Tageseinnahmen des Cafés befinden sich insgesamt 200 Geldscheine. Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter:

ausschließlich umlauffähige Geldscheine sind.

höchstens zwei Geldscheine sind, die nicht mehr umlauffähig sind.

b)

Bestimmen Sie die Anzahl der Geldscheine, die mindestens zu den Tageseinnahmen des Cafés gehören müssen, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\,\%$ mindestens vier nicht mehr umlauffähige Scheine sind.

2 In einem Behälter befinden sich insgesamt 380 Geldscheine. Deren Verteilung kann der folgenden Tabelle entnommen werden:

Wert des Scheins

5 €

10 €

20 €

50 €

Anzahl

44

60

72

204

Sechs dieser Geldscheine sind nicht mehr umlauffähig, darunter zwei mit einem Wert von jeweils 50 €.

a)

Aus dem Behälter wird ein Geldschein zufällig entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Schein einen Wert unter 50 € hat und umlauffähig ist.

[3 BE]

b)

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term

$$\frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{374}{5}}{\binom{380}{7}}$$

berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an.

[2 BE]

In der ersten Hälfte des Jahres 2015 hat die Europäische Zentralbank (EZB) von etwa 17 Milliarden im Umlauf befindlichen Geldscheinen insgesamt 454 000 gefälschte Scheine aussortiert. Deren Verteilung ist im abgebildeten Diagramm dargestellt.

a)

Einer dieser aussortierten gefälschten Geldscheine wird zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den Wert des ausgewählten Scheins in Euro. Bestimmen Sie den Erwartungswert von $X$.

In der ersten Hälfte des Jahres 2015 hat die Europäische Zentralbank (EZB) von etwa 17 Milliarden im Umlauf befindlichen Geldscheinen insgesamt 454 000 gefälschte Scheine aussortiert. Deren Verteilung ist im abgebildeten Diagramm dargestellt.

b)

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

«Aus Abbildung 1 lässt sich schließen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein unter allen im Umlauf befindlichen Geldscheinen zufällig ausgewählter 20 €-Schein gefälscht ist, fast doppelt so hoch war wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies bei einem zufällig ausgewählten 50 €-Schein der Fall ist.»

4 Eine Kassiererin einer Bank behauptet, nur durch Tasten und Betrachten erkennen zu können, ob ein Geldschein echt oder gefälscht ist. Ein Kollege bezweifelt dies und legt ihr testweise zehn Geldscheine vor. Die Kassiererin muss für jeden der Scheine entscheiden, ob er echt oder gefälscht ist. Wird die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Kassiererin korrekt entscheidet, beträgt höchstens 50 %.“ auf einem Signifikanzniveau von 5 % abgelehnt, so ist der Kollege bereit, seine Zweifel aufzugeben.

a)

Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

[5 BE]

b)

Der Kassiererin werden im Rahmen eines weiteren Tests mit unveränderter Nullhypothese und unverändertem Signifikanzniveau $n$ Scheine vorgelegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie bei einem Geldschein die richtige Entscheidung trifft, wird mit $p$ bezeichnet. Abbildung 2 stellt für einen bestimmten Wert von $n$ in Abhängigkeit von $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür dar, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich liegt.

Bestimmen Sie für ein geeignet gewähltes Beispiel mithilfe von Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit für den zugehörigen Fehler zweiter Art.

[3 BE]