Unitat 1: Camp gravitatori - Física 2n Batxillerat

Presentació de teoria i problemes resolts sobre la llei de gravitació universal, intensitat del camp gravitatori, potencial, energia potencial i superfícies equipotencials.

Física · Selectivitat (PAU Catalunya)

92 pàgines · 7 temes · 29 flashcards · 19 preguntes tipus test

Índex

  1. Formulari resum de camp gravitatori · p. 1-3
  2. 1. Llei de la gravitació universal · p. 4-26
  3. 2. Camp gravitatori · p. 27-42
  4. 3. Camp gravitatori creat per una distribució de masses puntuals · p. 43-45
  5. 4. Potencial gravitatori · p. 46-56
  6. 5. Energia potencial gravitatòria · p. 57-87
  7. 6. Superfícies equipotencials · p. 88-92

Formulari resum de camp gravitatori

Flashcards

Fórmula de la 3a llei de Kepler
$T^2 = k\,r^3$, on $k = \dfrac{4\pi^2}{GM}$. $T$ en $\text{s}$, $r$ en $\text{m}$.
Fórmula de l'excentricitat orbital
$e = \dfrac{c}{a}$, on $c$ és la semidistància focal i $a$ el semieix major (adimensional).
Fórmula del mòdul de la força gravitatòria de Newton
$F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$, amb $F$ en $\text{N}$, masses en $\text{kg}$ i distància en $\text{m}$.
Fórmula vectorial de la intensitat de camp gravitatori $\vec{g}$
$\vec{g} = -G\,\dfrac{M}{r^2}\,\vec{u}$, on $\vec{u}$ és el vector unitari radial cap enfora; en $\text{m/s}^2$ o $\text{N/kg}$.

Preguntes tipus test

  1. Segons la conservació del moment angular $\vec{L}$, per quina raó la velocitat orbital d'un planeta és màxima en el periheli i mínima en l'afeli?
    • a) Perquè el radi vector $\vec{r}$ i la velocitat $\vec{v}$ tenen el mateix mòdul en tot el trajecte orbital
    • b) Perquè l'àrea escombrada per unitat de temps és màxima en el periheli i mínima en l'afeli
    • c) Perquè en augmentar la distància al Sol en l'afeli, la velocitat ha de disminuir per mantenir el producte constant
    • d) Perquè la força de la gravetat s'anul·la completament quan el planeta arriba al punt més proper al Sol

    Resposta: c) Perquè en augmentar la distància al Sol en l'afeli, la velocitat ha de disminuir per mantenir el producte constant. Com que el moment de forces és nul respecte al Sol, el moment angular $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$ és constant. Com a conseqüència, a menor distància $r$ (periheli) correspon major velocitat $v$, i a major distància (afeli) velocitat menor.

  2. Què representen les línies de camp representades al voltant d'una massa puntual com s'observa a l'esquema d' ?
    • a) Línies equipotencials on el potencial gravitatori pren un valor nul permanent
    • b) Vectors de repulsió que augmenten en allunyar-se de la massa puntual
    • c) Trajectòries circulars d'energia cinètica constant al voltant de la massa font
    • d) Línies radials dirigides cap a la massa que indiquen la direcció i sentit atractiu del camp

    Resposta: d) Línies radials dirigides cap a la massa que indiquen la direcció i sentit atractiu del camp. Les línies de camp gravitatori d'una massa puntual són rectes que apunten cap al centre de la massa, ja que la interacció gravitatòria sempre és d'atracció.

  3. Segons l'esquema d' , per què les línies del camp gravitatori $\vec{g}$ tallen perpendicularment les superfícies equipotencials esfèriques?
    • a) Perquè les superfícies equipotencials tenen totes el mateix potencial $V = 0$
    • b) Perquè el treball necessari per desplaçar-se radialment entre superfícies és sempre nul
    • c) Perquè el camp apunta cap a valors decreixents de potencial segons $g = -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$
    • d) Perquè la intensitat de camp és independent de la distància al centre de la massa

    Resposta: c) Perquè el camp apunta cap a valors decreixents de potencial segons $g = -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$. El camp gravitatori és perpendicular a les superfícies equipotencials i s'orienta en la direcció de màxima disminució del potencial ($g = -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$).

1. Llei de la gravitació universal

Flashcards

Enunciat de la primera llei de Kepler
Els planetes giren en òrbites el·líptiques en les quals el Sol ocupa un dels focus.
Fórmula de l'excentricitat $e$ d'una el·lipse
$e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}$: adimensional, on $c$ és semidistància focal i $a$ semieix major.
Enunciat de la segona llei de Kepler
El vector de posició del planeta respecte del Sol escombra àrees iguals en temps iguals (velocitat areolar constant).
Fórmula de la tercera llei de Kepler
$T^2 = k r^3$, on $T$ és el període orbital (s) i $r$ la distància mitjana (m).

Preguntes tipus test

  1. Observa el diagrama orbital . Tenint en compte que l'àrea $S_A$ és igual a l'àrea $S_B$ en intervals de temps iguals, quina relació tenen les velocitats a l'afeli ($v_a$) i al periheli ($v_p$)?
    • a) La velocitat és màxima a l'afeli i mínima al periheli ($v_a > v_p$).
    • b) La velocitat és idèntica en tots dos punts perquè el moment angular és nul.
    • c) La velocitat és mínima a l'afeli i màxima al periheli ($v_a < v_p$).
    • d) La velocitat a l'afeli és nul·la perquè el planeta canvia de sentit de gir.

    Resposta: c) La velocitat és mínima a l'afeli i màxima al periheli ($v_a < v_p$).. Segons la segona llei de Kepler, la velocitat areolar és constant. Com que a l'afeli la distància al Sol és màxima, l'arc recorregut en el mateix interval de temps és menor i la velocitat és mínima, mentre que al periheli és màxima.

  2. Per què es conserva el moment angular $\vec{L}$ d'un planeta respecte del Sol durant la seva òrbita?
    • a) Perquè la velocitat lineal del planeta es manté absolutament constant al llarg de tota la trajectòria.
    • b) Perquè el moment de la força gravitatòria és nul en tractar-se d'una força central paral·lela al vector de posició.
    • c) Perquè la massa del planeta augmenta proporcionalment a la distància respecte del Sol.
    • d) Perquè no actua cap tipus d'acceleració sobre el planeta durant el seu moviment de revolució.

    Resposta: b) Perquè el moment de la força gravitatòria és nul en tractar-se d'una força central paral·lela al vector de posició.. La força gravitatòria està dirigida cap al Sol (sentit contrari al vector posició, angle de $180^\circ$), per tant el moment de la força respecte del Sol és $M = r F \sin(180^\circ) = 0$, la qual cosa implica que $\dfrac{d\vec{L}}{dt} = 0$ i $\vec{L}$ és constant.

  3. Si es duplica la distància entre dues masses puntuals sense alterar els seus valors, com varia el mòdul de la força gravitatòria mútua?
    • a) Es quadruplica respecte al valor original.
    • b) Es manté constant en dependre únicament de les masses.
    • c) Es redueix a la quarta part del valor inicial.
    • d) Es redueix a la meitat del valor inicial.

    Resposta: c) Es redueix a la quarta part del valor inicial.. La llei de la gravitació universal estableix que la força és inversament proporcional al quadrat de la distància ($F \propto \dfrac{1}{r^2}$). En duplicar $r$, la força esdevé $\dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}$ de la inicial.

2. Camp gravitatori

Flashcards

Fórmula de la intensitat de camp gravitatori d'una massa puntual $m$
$\vec{g} = -G\dfrac{m}{r^2}\vec{u}$, on $G$ és la constant de gravitació, $r$ la distància i $\vec{u}$ el vector unitari radial cap enfora; en $\text{N/kg}$ o $\text{m/s}^2$.
Definició operativa d'intensitat de camp gravitatori $\vec{g}$
$\vec{g} = \dfrac{\vec{F}}{m'}$: quocient entre la força gravitatòria que experimenta una massa de prova $m'$ i el valor de dita massa; en $\text{N/kg}$ o $\text{m/s}^2$.
Efecte de la rotació terrestre a l'equador sobre la gravetat efectiva
$g_0 - g = a_n = \omega^2 R_T$, on la gravetat efectiva $g$ disminueix respecte a $g_0$ en la quantitat de l'acceleració centrípeta (en $\text{m/s}^2$).
Fórmula del radi de gir d'un punt a latitud $\lambda$ a la Terra
$r = R_T \cos\lambda$, on $R_T$ és el radi de la Terra i $\lambda$ la latitud (angle respecte a l'equador); en metres ($\text{m}$).

Preguntes tipus test

  1. A la representació de línies de camp d'una massa puntual , per què les línies tenen sentit cap a la massa central?
    • a) Perquè el vector unitari apunta sempre cap a la posició de la massa creadora.
    • b) Perquè la interacció gravitatòria és sempre una força de caràcter atractiu.
    • c) Perquè la massa de prova utilitzada té per definició un valor de càrrega negatiu.
    • d) Perquè la densitat de línies ha de disminuir a mesura que ens apropem al centre.

    Resposta: b) Perquè la interacció gravitatòria és sempre una força de caràcter atractiu.. Les línies de camp gravitatori van dirigides cap a les masses perquè la força gravitatòria és sempre atractiva, fent que una massa de prova rebi una força dirigida cap al centre de la massa font.

  2. Si una massa de prova es col·loca en un punt on la densitat de línies de camp és el doble que en un altre, com és la força gravitatòria que experimenta?
    • a) És exactament igual, atès que la intensitat depèn només de la massa de prova.
    • b) És perpendicular a les línies de camp a causa de la geometria radial del camp.
    • c) És més intensa, ja que la intensitat del camp augmenta amb la densitat de línies.
    • d) És la meitat, ja que la densitat de línies és inversament proporcional a la força.

    Resposta: c) És més intensa, ja que la intensitat del camp augmenta amb la densitat de línies.. La intensitat del camp gravitatori (i per tant la força $\vec{F} = m'\vec{g}$) augmenta en les regions amb major densitat de línies de camp.

  3. Tenint en compte l'esquema de la Terra en rotació , per què la rotació terrestre no modifica el valor de l'acceleració de caiguda $g$ als pols?
    • a) Perquè la força normal compensa exactament la força gravitatòria només a l'eix.
    • b) Perquè el radi de gir $r = R_T \cos\lambda$ s'anul·la en ser la latitud $\lambda = 90^\circ$.
    • c) Perquè la densitat del planeta als pols és estrictament superior a la de l'equador.
    • d) Perquè la velocitat angular $\omega$ de la Terra disminueix fins a zero a l'eix polar.

    Resposta: b) Perquè el radi de gir $r = R_T \cos\lambda$ s'anul·la en ser la latitud $\lambda = 90^\circ$.. Als pols la latitud és $\lambda = \pi/2$, per la qual cosa el radi de gir entorn de l'eix és $r = R_T \cos(\pi/2) = 0$, fent que l'acceleració centrípeta $a_n = \omega^2 r$ sigui nul·la.

3. Camp gravitatori creat per una distribució de masses puntuals

Flashcards

Enuncia el principi de superposició per al camp gravitatori.
La intensitat de camp en un punt és la suma vectorial dels camps creats per cadascuna de les masses per separat: $\vec{g} = \sum_{i=1}^n \vec{g}_i$.
Fórmula del camp gravitatori d'una distribució de masses puntuals.
$\vec{g} = \sum_{i=1}^n -G\,\dfrac{m_i}{r_i^2}\,\vec{u}_i$ Unitat en el SI: $\text{m/s}^2$ (o $\text{N/kg}$).
Com actua gravitatòriament un cos esfèric de massa $M$ per a punts a distància $r \ge R$?
Es comporta com si tota la seva massa $M$ estigués concentrada en el seu centre.

Preguntes tipus test

  1. En el sistema representat a l'esquema , quina és l'orientació correcta del vector camp gravitatori $\vec{g}_1$ exercit per la massa $m_1$ situada a l'eix x sobre l'origen de coordenades $P$?
    • a) Apunta cap a la dreta, en el sentit positiu de l'eix x ($+\vec{i}$), ja que el camp és atractiu cap a $m_1$.
    • b) Apunta cap amunt en l'eix y ($+\vec{j}$), per equilibrar la massa $m_2$ situada sobre l'eix vertical.
    • c) Té una component nul·la sobre l'eix x perquè el camp només depèn de la suma vectorial amb $m_3$.
    • d) Apunta cap a l'esquerra, en el sentit negatiu de l'eix x ($-\vec{i}$), repel·lint qualsevol massa de prova.

    Resposta: a) Apunta cap a la dreta, en el sentit positiu de l'eix x ($+\vec{i}$), ja que el camp és atractiu cap a $m_1$.. Com que la força gravitatòria és atractiva, el camp gravitatori creat per $m_1$ en el punt $P$ apunta directament cap a la pròpia massa $m_1$, és a dir, cap al sentit positiu de l'eix x ($+\vec{i}$).

  2. Per a punts exteriors a un planeta esfèric de radi $R$ i massa $M$ ($r \ge R$), com es pot modelitzar el càlcul del camp gravitatori que genera?
    • a) Considerant tota la massa $M$ concentrada exclusivament en el centre geomètric del cos.
    • b) Multiplicant la intensitat de camp per un factor geomètric que depèn del radi de l'esfera.
    • c) Suposant que el camp només prové de l'escorça més exterior i negligible cap a l'interior.
    • d) Dividint la massa total entre la superfície exterior de l'esfera com una densitat superficial.

    Resposta: a) Considerant tota la massa $M$ concentrada exclusivament en el centre geomètric del cos.. Si la massa és esfèrica, per a punts a distància $r \ge R$ les magnituds gravitatòries es poden determinar suposant que tota la massa està concentrada en el seu centre.

4. Potencial gravitatori

Flashcards

Definició de potencial gravitatori en un punt
Treball, canviat de signe, realitzat per la força gravitatòria per traslladar $1\ \text{kg}$ des de l'infinit fins al punt. Unitat: $\text{J/kg}$.
Fórmula del potencial d'una massa puntual
Conveni del potencial a l'infinit
$V_\infty = 0\ \text{J/kg}$, ja que a l'infinit la força gravitatòria és nul·la.
Fórmula del potencial per distribució de masses puntuals
$V_A = \sum_{i=1}^{n} V_i = -G \sum_{i=1}^{n} \dfrac{m_i}{r_i}$, sumatori escalar en $\text{J/kg}$.

Preguntes tipus test

  1. Com varia el potencial gravitatori creat per una massa puntual en augmentar la distància $r$?
    • a) Es fa cada vegada més negatiu sense cap límit definit.
    • b) Es manté negatiu i augmenta el seu valor apropant-se a zero.
    • c) Disminueix de manera inversament proporcional al quadrat de $r$.
    • d) Es manté positiu i disminueix progressivament cap a zero.

    Resposta: b) Es manté negatiu i augmenta el seu valor apropant-se a zero.. Com que $V = -G\dfrac{m}{r}$, en augmentar $r$ la fracció es redueix en mòdul, fent que el potencial (que és negatiu) s'apropi a zero des de valors negatius, és a dir, augmenta.

  2. A una altitud sobre la Terra igual a dos radis terrestres ($r = 3R_T$), quin és el potencial gravitatori respecte al valor de la superfície $V_0$?
    • a) $\dfrac{V_0}{3}$
    • b) $\dfrac{V_0}{2}$
    • c) $\dfrac{V_0}{9}$
    • d) $\dfrac{V_0}{4}$

    Resposta: a) $\dfrac{V_0}{3}$. El potencial és inversament proporcional a la distància al centre del cos: $V(r) = -G\dfrac{M}{r}$. Per a $r = 3R_T$, tenim $V = -G\dfrac{M}{3R_T} = \dfrac{V_0}{3}$.

  3. En el punt mitjà exacte entre la Terra i la Lluna on les forces d'atracció es compensen i el camp gravitatori és nul, com és el potencial gravitatori total?
    • a) És indeterminat perquè no es pot definir el potencial en punts amb camp nul.
    • b) És negatiu i no nul, resultat de sumar escalarment els potencials negatius de cadascuna.
    • c) És exactament zero perquè els efectes dels dos camps es contraresten completament.
    • d) És estrictament positiu a causa del canvi de signe en anul·lar-se les forces gravitatòries.

    Resposta: b) És negatiu i no nul, resultat de sumar escalarment els potencials negatius de cadascuna.. El potencial gravitatori és una magnitud escalar i sempre és negatiu per a masses individuals. En sumar valors escalars negatius ($V_T + V_L$), el potencial total és estrictament negatiu i diferent de zero.

5. Energia potencial gravitatòria

6. Superfícies equipotencials

I 10 flashcards i 5 preguntes més al document.

Text del document

Camp gravitatori Esfera: ac = ω2 · r = v2 / r (m/s2) (rad/s) Lleis Kepler: • 1a. Òrbites el·líptiques a2 = b2 + c2 Excentricitat • 2a. Δ t = Δ t′ SA = SB Moment força: Moment angular: Velocitat areolar o àrea escombrada per unitat de temps • Afeli allunyat velocitat mínima Periheli proper velocitat màxima 3a.

Llei gravitació universal: ⃑ Intensitat del camp gravitatori: (m/s2) ⃑ atractiva r = RT + h Principi de superposició: Potencial gravitatori: (J/kg) Distribució de masses: Energia potencial gravitatòria: (J) EpA = m’ VA Principi de conservación de l’energia: ΔE = ΔEc + ΔEp = 0 E = Ec + Ep Velocitat d’escapament del cos o velocitat mínima que permet a un cos escapar de l’atracció gravitatòria d’un altre cos: Satèl·lits artificials: Geoestacionaris T = 1 dia Velocitat de rotació del satèl·lit quan està en una òrbita de radi r: Energia mecànica del satèl·lit en una òrbita en funció de r: Energia cinètica de llançament del satèl·lit des de la Terra: Velocitat de llançament del satèl·lit per posar-lo en òrbita: Superfícies equipotencials: Unitat 1.

Camp gravitatori FÍSICA 2N BATXILLERAT 1. Llei de la gravitació universal • Model aristotèlic o geocèntric, acceptat per Ptolemeu. La Terra: centre de l’Univers. Tots els astres, planetes, etc. giren al seu voltant en una trajectòria circular. A excepció del Sol, la Lluna i les estrelles, els altres astres giren en petits cercles (epicicles) que, al seu torn, giren al voltant de la Terra (centre deferent). • Model heliocèntric de Copèrnic. El Sol: centre del sistema solar i els planetes giren al seu voltant. Sol: sistema de referència inercial per estudiar els moviments dels planetes. • Brahe. Base de dades astronòmiques sobre els moviments planetaris. 2 1.

Llei de la gravitació universal • Kepler, seguint el model heliocèntric i amb les dades de Brahe, proposa les lleis que expliquen el moviment de qualsevol cos que orbita al voltant d’un altre. o Primera llei. Els planetes giren en òrbites el·líptiques en les quals el Sol ocupa un dels focus. Una el·lipse queda determinada per tres paràmetres:  Semieix major, a  Semieix menor, b  Semidistància focal, c a2 = b2 + c2 3 1. Llei de la gravitació universal • Kepler Excentricitat. Mesura la distancia dels focus respecte del centre geomètric de l’el·lipse: Té un valor molt petit en les òrbites planetàries.

Es consideren pràcticament circulars, ja que la circumferència és una el·lipse amb e = 0 en ser a = b i c = 0. 4 1. Llei de la gravitació universal • Kepler o Segona llei. El segment imaginari que uneix un planeta amb el Sol (vector de posició del planeta respecte del sistema de referència solar) defineix àrees iguals en temps iguals. ∆ t = ∆ t′ SA = SB 5 1. Llei de la gravitació universal • Kepler o Tercera llei. El quadrat del període del moviment al voltant del Sol de qualsevol planeta és directament proporcional al cub de la distància mitjana al Sol. 6 1. Llei de la gravitació universal • Newton: llei de la gravitació universal, a partir de lleis de Kepler.

L’acceleració d’un planeta en la seva òrbita és deguda a una força feta pel Sol sobre el planeta, fent que l’òrbita sigui el·líptica. o Llei de la gravitació universal. La força d’atracció entre dues partícules de masses m1 i m2 separades una distància r és directament proporcional al producte de les masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa. G = 6,67 · 10−11 N · m2/kg2 constant de la gravitació universal = vector unitari amb la direcció de la recta que uneix les masses Signe negatiu: força entre les masses és d’atracció. 7 1. Llei de la gravitació universal • Newton: o Llei de la gravitació universal.

= va de m1 a m2 = força sobre m2 = va de m2 a m1 = força sobre m1 Sobre cada massa actua una força, i aquestes forces formen el parell de forces d’acció i reacció: 8 1. Llei de la gravitació universal Exemple 1. Dues masses puntuals de valors m1 = 100 kg i m2 = 500 kg estan situades, respectivament, en els punts de coordenades (30, 0) i (0, 40), on les distàncies estan expressades en metres. Calculeu la força gravitatòria que actua sobre cada partícula. 9 1. Llei de la gravitació universal Exemple 1. Dues masses puntuals de valors m1 = 100 kg i m2 = 500 kg estan situades, respectivament, en els punts de coordenades (30, 0) i (0, 40), on les distàncies estan expressades en metres.

Calculeu la força gravitatòria que actua sobre cada partícula. Vector que va de m2 a m1: Força que rep la massa de 100 kg: 10 1. Llei de la gravitació universal Exemple 1. Dues masses puntuals de valors m1 = 100 kg i m2 = 500 kg estan situades, respectivament, en els punts de coordenades (30, 0) i (0, 40), on les distàncies estan expressades en metres. Calculeu la força gravitatòria que actua sobre cada partícula. La força sobre la massa de 500 kg és la reacció sobre la massa de 100 kg: Forces molt febles, cosa que indica que les forces gravitatòries només són influents quan les masses són molt grans, com en l’atracció entre el Sol i els planetes, entre la Terra i la Lluna, etc.

Això es deu al valor petit de G (6,673 · 10−11 N·m2/kg2). 11 1. Llei de la gravitació universal 1.1. Llei de la gravitació universal i lleis de Kepler • Primera llei de Kepler La força gravitatòria exercida pel Sol sobre els planetes origina que aquests descriguin trajectòries el·líptiques al voltant del Sol. És una força central, dirigida cap al Sol, centre de forces. L’enorme massa del Sol comparada amb la de qualsevol dels planetes fa que el Sol pràcticament no es mogui respecte dels planetes, encara que la força gravitatòria que exerceix qualsevol planeta sobre el Sol sigui, en mòdul, igual a la que exerceix el Sol sobre el planeta. 12 1. Llei de la gravitació universal 1.1.

Llei de la gravitació universal i lleis de Kepler • Primera llei de Kepler Quan un objecte, com un planeta, es mou al voltant del Sol, amb una força que varia com trajectòries que segueix l'objecte poden ser: • El·lipse , les trajectòries tancades cas particular: òrbites circulars excentricitat nul·la • Paràbola trajectòries obertes • Hipèrbola l'objecte s'acosta al Sol i se n'allunya indefinidament sense tornar La primera llei de Kepler és una conseqüència directa de la llei de gravitació universal de Newton 13 1. Llei de la gravitació universal 1.1. Llei de la gravitació universal i lleis de Kepler • Segona llei de Kepler Conseqüència de les forces centrals que actuen sobre els planetes.

El vector posició del planeta respecte del Sol i el vector força que rep el planeta a causa de l’atracció amb el Sol tenen la mateixa direcció i sentits contraris, formant un angle de 180º. Moment de la força respecte de la posició del Sol: MSol = r F sin 180° = 0 14 1. Llei de la gravitació universal 1.1. Llei de la gravitació universal i lleis de Kepler Moment angular del planeta respecte del Sol: 15 1. Llei de la gravitació universal 1.1.

Llei de la gravitació universal i lleis de Kepler La superfície de l’òrbita en què es mou el planeta és plana En un interval de temps ∆t: • El planeta recorre una longitud d’arc: • El vector de posició ∆ ⃑ escombra l’àrea ∆ ⃑ Si l’interval de temps és prou petit, ∆ ⃑ és pràcticament recte i coincideix amb ∆ ⃑, el valor de l’àrea és la meitat de l’àrea del paral·lelogram definit pels vectors ⃑ ∆ ⃑: La velocitat areolar o àrea escombrada per unitat de temps és constant i permet deduir la segona llei de Kepler. 16 1. Llei de la gravitació universal 1.1. Llei de la gravitació universal i lleis de Kepler • Periheli. Punt de l’òrbita el·líptica més proper al Sol • Afeli.

Punt més allunyat del Sol Planeta proper a l’afeli i es mou entre dos punts M i N durant un interval de temps ∆t, el vector de posició defineix una àrea ∆Sa i la velocitat areolar és ∆Sa/∆t. Planeta proper al periheli i es mou en un temps ∆t′ igual a ∆t entre dos punts M′ i N′, l’àrea escombrada és ∆Sp i la velocitat areolar, ∆Sp/∆t. Les àrees escombrades han de ser iguals, ∆Sa = ∆Sp, en ser ∆t′ = ∆t. Segona llei de Kepler o llei de les àrees: el planeta escombra àrees iguals en temps iguals. 17 1. Llei de la gravitació universal 1.1.

Llei de la gravitació universal i lleis de Kepler Si Àrea OMN = Àrea OM′N′ longitud arc MN < longitud arc M′N′ en l’arc M′N′ vplaneta >, degut a que ∆t = ∆t′ • Afeli: velocitat mínima • Periheli: velocitat màxima En aquests punts els vectors velocitat i posició són perpendiculars 18 1. Llei de la gravitació universal 1.1. Llei de la gravitació universal i lleis de Kepler • Tercera llei de Kepler: relació entre el radi i el període de l’òrbita del planeta El planeta gira al voltant del Sol a velocitat v constant en mòdul.

A causa de l’atracció amb el Sol, té una acceleració centrípeta: an = ω2 r La força centrípeta és igual a la força d’atracció entre els dos cossos: Fn = m an = m ω2 r m = massa del planeta M = massa del Sol r = radi de l’òrbita circular La constant k depèn de la massa del Sol i varia segons altres sistemes estel·lars: k = 4 π2/GM 19 1. Llei de la gravitació universal Exemple 2. Apliqueu la tercera llei de Kepler per determinar el període del moviment de rotació de la Lluna al voltant de la Terra. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg i rTL = 3,84 · 108 m. 20 1. Llei de la gravitació universal Exemple 2.

Apliqueu la tercera llei de Kepler per determinar el període del moviment de rotació de la Lluna al voltant de la Terra. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg i rTL = 3,84 · 108 m. Trajectòria de la Lluna al voltant de la Terra: circular, ja que e = 0,055 i el mòdul de la velocitat constant. L’única força que actua sobre la Lluna és la força gravitatòria que fa la Terra sobre la Lluna, an = ω2 rLT ω = velocitat angular de la Lluna al voltant de la Terra rLT = radi de l’òrbita 21 1. Llei de la gravitació universal Exemple 2. Apliqueu la tercera llei de Kepler per determinar el període del moviment de rotació de la Lluna al voltant de la Terra. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg i rTL = 3,84 · 108 m.

En un interval de temps de 27,4 dies observem les quatre fases lunars 22 1. Llei de la gravitació universal Exemple 2. Apliqueu la tercera llei de Kepler per determinar el període del moviment de rotació de la Lluna al voltant de la Terra. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg i rTL = 3,84 · 108 m. Només una de les dues cares de la Lluna està sempre il·luminada. A causa del moviment de rotació de la Lluna des de la Terra veiem sempre la mateixa cara de la Lluna, però en les diferents fases lunars. 23 2.

Camp gravitatori Intensitat del camp gravitatori que genera una massa puntual o esfèrica, en N/kg: ⃑ = força que rep la massa (N) m = massa (kg) m positiva ⃑ és una acceleració ⃑ i ⃑ mateixa direcció i sentit m/s2 24 2. Camp gravitatori Per determinar la intensitat de camp gravitatori en un punt que es troba a una distància r d’una massa puntual m aïllada, es situa una altra massa puntual de prova m′ en aquest punt i es calcula la força que rep: El sentit del vector unitari és oposat al sentit de la força i va de la massa m que crea el camp al punt on es calcula el camp.

La intensitat de camp gravitatori és directament proporcional a la massa i inversament proporcional a la distància al quadrat. 25 2. Camp gravitatori Representació del camp gravitatori d’una massa puntual m mitjançant línies de camp a) i de dues masses iguals i puntuals b). Les línies de camp van dirigides cap a les masses, ja que la força gravitatòria sempre és atractiva. Variació de la intensitat de camp gravitatori en mòdul d’una massa puntual Si es situa una massa de prova m′ en un punt qualsevol, aquesta rep una força ′ que és tangencial a la línia de camp que passa per la massa de prova, i la seva intensitat va augmentant amb la densitat de línies. 26 2. Camp gravitatori Exemple 3.

La Terra no és perfectament esfèrica i té una forma lleugerament el·líptica, ja que la distància al centre varia lleugerament dels pols a l’equador. La seva densitat no és homogènia i els efectes del moviment de rotació de la Terra fan variar el valor de g des de 9,83 m/s2 als pols fins a 9,78 m/s2 a l’equador. Calculeu el mòdul de la intensitat de camp gravitatori a la superfície del planeta Terra sense tenir en compte els factors anteriors, i considerant que qualsevol punt de la superfície es troba a la mateixa distància RT del centre de la Terra (radi mitjà). Dades: MT = 5,98 · 1024 kg, RT = 6,38 · 106 m 27 2. Camp gravitatori Exemple 3.

La Terra no és perfectament esfèrica i té una forma lleugerament el·líptica, ja que la distància al centre varia lleugerament dels pols a l’equador. La seva densitat no és homogènia i els efectes del moviment de rotació de la Terra fan variar el valor de g des de 9,83 m/s2 als pols fins a 9,78 m/s2 a l’equador. Calculeu el mòdul de la intensitat de camp gravitatori a la superfície del planeta Terra sense tenir en compte els factors anteriors, i considerant que qualsevol punt de la superfície es troba a la mateixa distància RT del centre de la Terra (radi mitjà).

Dades: MT = 5,98 · 1024 kg, RT = 6,38 · 106 m Mòdul de la intensitat de la gravetat a la superfície de la Terra: (vector cap al centre) 28 2. Camp gravitatori Exemple 4. A part del moviment de translació al voltant del Sol, la Terra té un moviment de rotació al voltant del seu eix. Determineu quina és la influència de la rotació de la Terra sobre el valor de l’acceleració de caiguda . Dades: RT = 6,38 · 106 m i T = 24 h 29 2. Camp gravitatori Exemple 4. A part del moviment de translació al voltant del Sol, la Terra té un moviment de rotació al voltant del seu eix. Determineu quina és la influència de la rotació de la Terra sobre el valor de l’acceleració de caiguda .

Dades: RT = 6,38 · 106 m i T = 24 h Punt P de la superfície terrestre a latitud l’acceleració total ⃑ : angle d’ amb el pla equatorial), = acceleració deguda al camp gravitatori terrestre = acceleració deguda al moviment de rotació de la Terra r = radi de gir del punt P entorn de l’eix de rotació de la Terra r = RT cos λ ω = velocitat angular de rotació de la Terra Als pols, la rotació de la Terra no té cap influència sobre ⃑: 30 2. Camp gravitatori Exemple 4. A part del moviment de translació al voltant del Sol, la Terra té un moviment de rotació al voltant del seu eix. Determineu quina és la influència de la rotació de la Terra sobre el valor de l’acceleració de caiguda .

Dades: RT = 6,38 · 106 m i T = 24 h A l’equador ( λ=0 ), l’acceleració centrípeta té una influència màxima sobre ⃑: an = ω2 r cos 0 = ω2 RT Punt Q actuen les forces m RT = radi de la Terra i la normal ! - m g0 + m g = m ω2 RT - g0 + g = ω2 RT A l’equador hi ha una disminució de la intensitat gravitatòria a causa de la rotació, que coincideix amb l’acceleració centrípeta: g0 − g = an = ω2 RT 31 2. Camp gravitatori 2.1.Variació de la intensitat terrestre amb l’altitud gravitatòria A mesura que ens allunyem del planeta la intensitat del camp gravitatori disminueix ràpidament. Intensitats de camp gravitatori en els punts P i Q: r = RT + h Relació entre els mòduls de les intensitats a P i Q: 32 2.

Camp gravitatori Exemple 5. Sabem que la intensitat de la gravetat a la superfície de la Terra és 9,8 m/s2 i que el radi mitjà és 6,38 · 106 m. Determineu el camp gravitatori a una altitud sobre la superfície terrestre de: a) 20 m; b) 1 000 m; c) 10 km; d) dos radis terrestres. 33 2. Camp gravitatori Exemple 5. Sabem que la intensitat de la gravetat a la superfície de la Terra és 9,8 m/s2 i que el radi mitjà és 6,38 · 106 m. Determineu el camp gravitatori a una altitud sobre la superfície terrestre de: a) 20 m; b) 1 000 m; c) 10 km; d) dos radis terrestres. a) b) c) d) 34 2. Camp gravitatori 2.2.

Pes d’un cos de massa m Força gravitatòria amb què la Terra atrau una massa m situada sobre la superfície: Intensitat de camp a la superfície: Pes a la superfície de la Terra: Per a una distància qualsevol: ⃑ = intensitat de camp gravitatori a la distància considerada "⃑ = pes a aquesta distancia La massa és invariable, és constant, mentre que el pes pot variar segons el valor de la intensitat de la gravetat . 35 2. Camp gravitatori Exemple 6. Calculeu el pes en mòdul d’un cos de 5 kg de massa situat: a) A la superfície de la Terra. b) A una altitud de 700 km. c) A l’altitud del satèl·lit Meteosat, de 5,6 radis terrestres. 36 2. Camp gravitatori Exemple 6.

Calculeu el pes en mòdul d’un cos de 5 kg de massa situat: a) A la superfície de la Terra. p = m g0 = 5 · 9,8 = 49 N b) A una altitud de 700 km. p = m g = 5 · 7,96 = 39,8 N c) A l’altitud del satèl·lit Meteosat, de 5,6 radis terrestres. p = m g = 5 · 0,22 = 1,1 N 37 2. Camp gravitatori Exemple 7. Una nau espacial té la forma d’una anella de 20 m de radi. Amb quina velocitat angular, mesurada en rpm, ha de girar per tal que els astronautes que són al recinte interior de l’anella percebin en la base dels peus la mateixa gravetat que a la superfície de la Terra? 38 2. Camp gravitatori Exemple 7. Una nau espacial té la forma d’una anella de 20 m de radi.

Amb quina velocitat angular, mesurada en rpm, ha de girar per tal que els astronautes que són al recinte interior de l’anella percebin en la base dels peus la mateixa gravetat que a la superfície de la Terra? Nau a l’espai no hi ha camp gravitatori, g = 0 Astronautes es moguin com a la Terra, cal que l’anella giri amb ω que provoqui an = g0 (superfície de la Terra) L’astronauta només rep la força que fa la superfície de la nau sobre ell, ! i coincideix amb el pes aparent de l’astronauta en la nau. N = Fc = m ω2 r = m·a Si l’astronauta rep la mateixa acceleració que a la superfície de la Terra: a = g = 9,8 m/s2 g = ω2 r ω2 · 20 = 9,8 → ω2 = 0,49 → ω = 0,7 rad/s 39 3.

Camp gravitatori creat per una diustribució de masses puntuals Principi de superposició: La intensitat de camp gravitatori originada per una distribució de masses puntuals en un punt de l’espai és la suma vectorial de les intensitats de camp que creen cadascuna de les masses puntuals separadament. # = vector unitari que assenyala el sentit des de la massa mi fins al punt P de l’espai considerat. Si la massa M és esfèrica, magnituds gravitatòries, com la intensitat de camp gravitatori i la força gravitatòria, es poden determinar, per a r ≥ R, suposant que la massa està concentrada en el centre del cos. 40 3. Camp gravitatori creat per una diustribució de masses puntuals Exemple 8.

Determineu la intensitat de camp gravitatori en el punt P del sistema format per les masses puntuals: 41 3. Camp gravitatori creat per una diustribució de masses puntuals Exemple 8. Determineu la intensitat de camp gravitatori en el punt P del sistema format per les masses puntuals: g = 1,9 · 10−9 m/s2 42 4. Potencial gravitatori Potencial gravitatori d’una massa puntual m en un punt A. Treball, canviat de signe, realitzat per la força gravitatòria que efectua la massa m per desplaçar una altra massa de prova d’1 kg des de l’infinit fins a A. Unitat en el SI: J/kg.

Per conveni, es pren com a referència de potencial V = 0 d’una massa puntual un punt molt llunyà, és a dir, un punt situat en l’infinit, ja que la força gravitatòria que experimenta la massa de prova és nul·la: 43 4. Potencial gravitatori El camp gravitatori és conservatiu. El treball realitzat per anar des de l’infinit fins a A és independent del camí seguit. La força que rep la massa puntual d’1 kg varia amb la distància: ja que són vectors paral·lels 44 4. Potencial gravitatori Diagrama F−r. El treball és l’àrea ombrejada. El potencial gravitatori sempre és negatiu, ja que la força gravitatòria és atractiva. 45 4. Potencial gravitatori Exemple 9.

Calculeu el potencial que genera el planeta Terra. Nota: Negligim els efectes dels astres que l’envolten. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,38 · 106 m a) A la seva superfície b) A una distància de tres radis terrestres c) A l’infinit. 46 4. Potencial gravitatori Exemple 9. Calculeu el potencial que genera el planeta Terra. Nota: Negligim els efectes dels astres que l’envolten. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,38 · 106 m a) A la seva superfície b) A una distància de tres radis terrestres c) A l’infinit. a) b) c) 47 4. Potencial gravitatori 4.1. Potencial gravitatori d’una distribució de masses puntuals 48 4. Potencial gravitatori Exemple 10.

Calculeu el potencial creat en el punt A per la distribució de masses esfèriques: 49 4. Potencial gravitatori Exemple 10. Calculeu el potencial creat en el punt A per la distribució de masses esfèriques: VA = V1 + V2 + ... + Vi + ... + Vn = 8 %6 10 m r2 = 5 m r3 = 8 m 50 4. Potencial gravitatori Exemple 11. Determineu en quin punt de l’espai la intensitat de camp gravitatori s’anul·la, si considerem que només hi ha interacció gravitatòria entre la Terra i la Lluna. Calculeu el potencial en aquest punt on el camp gravitatori s’anul·la. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,38 · 106 m; ML = 7,34 · 1022 kg; RL = 1,74 · 106 m; d = 3,84 · 108 m; G = 6,67 · 10−11 N · m2/kg2 51 4.

Potencial gravitatori Exemple 11. Determineu en quin punt de l’espai la intensitat de camp gravitatori s’anul·la, si considerem que només hi ha interacció gravitatòria entre la Terra i la Lluna. Calculeu el potencial en aquest punt on el camp gravitatori s’anul·la. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,38 · 106 m; ML = 7,34 · 1022 kg; RL = 1,74 · 106 m; d = 3,84 · 108 m; G = 6,67 · 10−11 N · m2/kg2 Les intensitats són dos vectors de la mateixa direcció i sentits contraris en el punt x: gT = gL x= 3,46 · 108 m 4,32 · 108 m no vàlid, punt exterior al segment El camp gravitatori és nul en x = 3,46 · 108 m, equival a 199 RL o 54 RT. 52 4. Potencial gravitatori Exemple 11.

Determineu en quin punt de l’espai la intensitat de camp gravitatori s’anul·la, si considerem que només hi ha interacció gravitatòria entre la Terra i la Lluna. Calculeu el potencial en aquest punt on el camp gravitatori s’anul·la. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,38 · 106 m; ML = 7,34 · 1022 kg; RL = 1,74 · 106 m; d = 3,84 · 108 m; G = 6,67 · 10−11 N · m2/kg2 53 5. Energia potencial gravitatòria El treball efectuat per la força gravitatòria per moure una massa m′ des de l’infinit fins a A és l’energia potencial EpA, causada pel camp de la massa m. 54 5. Energia potencial gravitatòria Ep en un diagrama F-r és l’àrea, canviada de signe, sota la corba, amb qualsevol valor de la massa. 55 5.

Energia potencial gravitatòria Si la massa m′ es desplaça des de A fins a B, el potencial és diferent de zero i el treball entre les posicions A i B és realitzat pel sistema, és a dir, per la força gravitatòria: W = −m′ (VB − VA) = −(EpB − EpA) Treball realitzat per una força externa oposada a la força gravitatòria, cal canviar de signe. 56 5. Energia potencial gravitatòria • Força gravitatòria realitza una variació en el sistema de masses Wsistema positiu Wforces externes negatiu Exemple: la força gravitatòria fa que la massa m′ passi espontàniament del punt A al punt B, ja que és una força atractiva.

• Força externa neta oposada a la força gravitatòria provoca un canvi en el sistema Wforces externes positiu Wsistema negatiu Exemple: quan es vol que la massa m′ es traslladi del punt B al punt A. 57 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 12. Calculeu l’energia potencial del sistema format per dues masses puntuals quan es troben en les situacions 1 i 2. Quin treball realitza el sistema en passar de la situació 1 a la 2? Quin treball realitza una força externa per fer aquest canvi? 58 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 12. Calculeu l’energia potencial del sistema format per dues masses puntuals quan es troben en les situacions 1 i 2.

Quin treball realitza el sistema en passar de la situació 1 a la 2? Quin treball realitza una força externa per fer aquest canvi? Wsistema = −(Ep2 − Ep1) = −[−6,67 · 10−7 − (−2,67 · 10−7)] = 4 · 10−7 J Wforça externa = −4 · 10−7 J El resultat negatiu s’interpreta considerant que no cal efectuar cap força externa per apropar les dues masses. El fet que les masses s’apropin no requereix cap aportació d’energia externa, les masses sempre s’atrauen. 59 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 13. Considerem tres punts A, B i C.

Calculeu el treball efectuat per les forces externes per desplaçar un satèl·lit de massa m pels tres camins següents: a) Des del punt A de la superfície de la Terra fins a B directament. b) Des de A fins a B passant per C. c) Des de A fins a B per un camí D qualsevol. Nota: No es tenen en compte les forces de fregament, només la força gravitatòria. 60 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 13. Considerem tres punts A, B i C. Calculeu el treball efectuat per les forces externes per desplaçar un satèl·lit de massa m pels tres camins següents: a) Des del punt A de la superfície de la Terra fins a B directament. b) Des de A fins a B passant per C. c) Des de A fins a B per un camí D qualsevol.

Nota: No es tenen en compte les forces de fregament, només la força gravitatòria. Wforces externes = ∆Ep a) 61 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 13. Considerem tres punts A, B i C. Calculeu el treball efectuat per les forces externes per desplaçar un satèl·lit de massa m pels tres camins següents: a) Des del punt A de la superfície de la Terra fins a B directament. b) Des de A fins a B passant per C. c) Des de A fins a B per un camí D qualsevol. Nota: No es tenen en compte les forces de fregament, només s’està considerant la força gravitatòria.

b) WACB = WAC + WCB = (EpC − EpA) + (EpB − EpC) WAC = 0 El treball és el mateix per als dos camins, ja que el camp gravitatori és conservatiu, només depèn de la posició inicial i final, no pas del camí seguit. c) El treball per anar de A cap a B per un camí qualsevol D ha de ser el mateix, ja que el camp gravitatori és conservatiu. 62 5. Energia potencial gravitatòria 5.1. Principi de conservació de l’energia El camp gravitatori és conservatiu.

Si sobre un sistema no actuen forces externes, el sistema sempre evoluciona conservant l’energia mecànica E: E = Ec + Ep ∆E = ∆Ec + ∆Ep = 0 W = −(EpB − EpA) = −∆Ep Teorema del treball i de l’energia cinètica: W = ∆Ec W = −∆Ep = ∆Ec → ∆Ec + ∆Ep = ∆E = 0 63 5. Energia potencial gravitatòria 5.2.Velocitat d’escapament En llançar un cos enlaire, torna cap a la Terra, ja que les masses dels dos cossos s’atrauen. Un cos de massa m es llança amb una velocitat inicial v0 des de la superfície de la Terra, instant en què l’energia cinètica és màxima i l’energia potencial és Ep.

L’energia mecànica inicial amb què surt el cos de la superfície de la Terra és: E = Ec + Ep Si un cos escapa de l’atracció gravitatòria de la Terra pot allunyar-se fins a l’infinit, on no està afectat pel camp gravitatori de la Terra i Ep = 0. Energia mínima per escapar-se, cal que el cos arribi a l’infinit amb v = 0, Ec = 0, E = 0 E = Ec + Ep = Ec′ + Ep′ = 0 64 5. Energia potencial gravitatòria 5.2.Velocitat d’escapament Velocitat d’escapament del cos o velocitat mínima que permet a un cos escapar de l’atracció gravitatòria d’un altre cos: 65 5.

Energia potencial gravitatòria 5.2.Velocitat d’escapament Per sobre d’aquesta velocitat, el cos arribaria a l’infinit amb una velocitat no nul·la, és a dir, amb una certa Ec. Aplicable a qualsevol altre planeta o astre. El resultat de la velocitat d’escapament és un valor orientatiu: • El fregament amb l’aire fa que es consumeixi més energia • Normalment, es va subministrant energia contínuament i la velocitat inicial s’incrementa gradualment fins a assolir un valor més o menys gran, i es continua subministrant energia per mantenir la velocitat fins que s’assoleix una distància tan gran que es considera que el cos ja s’ha escapat. 66 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 14.

Calculeu la velocitat d’escapament a la Terra i a la Lluna. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,38 · 106 m; ML = 7,34 · 1022 kg; RL = 1,74 · 106 m 67 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 14. Calculeu la velocitat d’escapament a la Terra i a la Lluna. Dades: MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,38 · 106 m; ML = 7,34 · 1022 kg; RL = 1,74 · 106 m Terra: Lluna: 68 5. Energia potencial gravitatòria 5.3. Satèl·lits artificials Tipus de satèl·lits: • Sistema GPS: 20 200 km d’altura de la superfície de la Terra • Sistema Galileu: 23 222 km d’altura • Altres, diferents altures: • Geoestacionaris: giren en un pla equatorial de la Terra a 35 500 km per aconseguir el mateix període.

Sempre veuen la mateixa cara de la Terra, tenen una bona resolució temporal. Exemple: satèl·lit Meteosat dona diàriament informació meteorològica. • Heliosíncrons: giren en òrbites quasi polars, pròxims a la superfície de la Terra; per exemple, a 840 km d’altura amb un període d’uns 100 minuts. Fan diverses voltes en un dia i tenen una bona resolució espacial. El moviment dels satèl·lits artificials és anàleg al moviment dels planetes quan giren al voltant del Sol, o al de la Lluna al voltant de la Terra. 69 5. Energia potencial gravitatòria 5.3.

Satèl·lits artificials Planeta de massa M, al centre del qual es situa l’origen de coordenades, i satèl·lit de massa m que gira al seu voltant en una òrbita circular. Si el radi de l’òrbita és r, segons la 2a llei de Newton, el satèl·lit rep una força central i fa un moviment circular: Velocitat del satèl·lit quan està en una òrbita de radi r: Principi de conservació de l’energia mecànica. E ha de ser constant, ja que és un sistema conservatiu, on no hi ha fregament ni actuen forces externes. Ec + Ep = E Ec = energia cinètica del satèl·lit Ep = energia potencial del satèl·lit 70 5. Energia potencial gravitatòria 5.3.

Satèl·lits artificials Energia mecànica del satèl·lit en una òrbita determinada en funció d’una única variable r: 71 5. Energia potencial gravitatòria 5.3. Satèl·lits artificials Representació gràfica: • Energia cinètica. Semieix d’ordenades positiu. • Energia potencial i energia total. Semieix d’ordenades negatiu. Com més a prop de la Terra gira el satèl·lit, més Ec i menys Ep. Quan s’allunya de la Terra, disminueix Ec i augmenta Ep. • E = 0 r = ∞ Ec = 0 Ep = 0 satèl·lit ha sortit de la influència gravitatòria de la Terra, la trajectòria és una paràbola. • E<0 circulars.

satèl·lit lligat a la Terra, gira en òrbites el·líptiques o • E>0 surt de la influència gravitatoria, trajectòria és una hipèrbola. 72 5. Energia potencial gravitatòria 5.3. Satèl·lits artificials Si es vol posar un satèl·lit de massa m en una òrbita de radi r des de la superfície de la Terra, l’energia mecànica en la superfície ha de ser igual a l’energia mecànica en l’òrbita. L’energia cinètica de llançament del satèl·lit des de la Terra és: Caldrà aportar contínuament més energia degut el fregament amb l’aire, la velocitat s’incrementa inicialment fins a assolir un valor més o menys gran.

Després es continua subministrant energia per mantenir la velocitat fins que s’assoleix una determinada altura i, o bé es posa directament el satèl·lit en òrbita, o bé se li dona un impuls final per tal que assoleixi l’òrbita desitjada i es reorienta per tal que l’òrbita sigui circular. 73 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 15. Un satèl.lit de massa 500 kg es vol posar en òrbita circular a una distància de 300 km de la superfície de la Terra. Calculeu: a) La velocitat de rotació del satèl.lit. b) El període. c) L’energia mecànica. d) L’acceleració centrípeta. e) La velocitat de llançament del satèl.lit per posar-lo en l’òrbita, sense tenir en compte el fregament amb l’aire. 74 5.

Energia potencial gravitatòria Exemple 15. Un satèl.lit de massa 500 kg es vol posar en òrbita circular a una distància de 300 km de la superfície de la Terra. Calculeu: a) La velocitat de rotació del satèl.lit. b) El període. 75 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 15. Un satèl.lit de massa 500 kg es vol posar en òrbita circular a una distància de 300 km de la superfície de la Terra. Calculeu: c) L’energia mecànica. d) L’acceleració centrípeta. 76 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 15. Un satèl.lit de massa 500 kg es vol posar en òrbita circular a una distància de 300 km de la superfície de la Terra.

Calculeu: e) La velocitat de llançament del satèl.lit per posar-lo en l’òrbita, sense tenir en compte el fregament amb l’aire. 77 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 16. Un cert satèl·lit de comunicacions en òrbita atrau la Terra amb una força de 19 kN, i l’energia potencial gravitatòria Terra-satèl·lit és de −1,39 · 1011 J. Calculeu el radi d’òrbita del satèl.lit, la massa del satèl.lit i l’energia cinètica del satèl.lit. Dades: RT = 6,38 · 106 m 78 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 16. Un cert satèl·lit de comunicacions en òrbita atrau la Terra amb una força de 19 kN, i l’energia potencial gravitatòria Terra-satèl·lit és de −1,39 · 1011 J.

Calculeu el radi d’òrbita del satèl.lit, la massa del satèl.lit i l’energia cinètica del satèl.lit. Dades: RT = 6,38 · 106 m 79 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 16. Un cert satèl·lit de comunicacions en òrbita atrau la Terra amb una força de 19 kN, i l’energia potencial gravitatòria Terra-satèl·lit és de −1,39 · 1011 J. Calculeu el radi d’òrbita del satèl.lit, la massa del satèl.lit i l’energia cinètica del satèl.lit. Dades: RT = 6,38 · 106 m Ec = E − Ep = −6,5 · 1010 − (−1,30 · 1011) = 6,5 · 1010 J 80 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 17.

Un cos de 5 kg de massa està sotmès a una energia potencial representada per Ep = x2 − 10 x, on l’energia està expressada en J i la distància en m. Calculeu: a) L’energia potencial mínima que pot adquirir el cos i a quina posició correspon. b) Si el cos té una energia de −16 J: • En quin interval es pot moure? • Amb aquesta energia, el cos pot passar per la posició x = 1 m? • Amb quina velocitat es mou quan passa per la posició x = 3 m? 81 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 17. Un cos de 5 kg de massa està sotmès a una energia potencial representada per Ep = x2 − 10 x, on l’energia està expressada en J i la distància en m.

Calculeu: a) L’energia potencial mínima que pot adquirir el cos i a quina posició correspon. Representació gràfica de Ep en funció de x: paràbola, amb mínim en x = 5 m, Ep mínima = −25 J * + , - . / 0m y = f(5) = 52 – 10·5 = - 25 J b) Si el cos té una energia de −16 J: • En quin interval es pot moure? Ec = 0 → E = Ec + Ep = 0 + Ep = Ep −16 = x2 − 10 x → x = 2 m i x = 8 m * -+1 + -2,3 , - - .41 - .4 -2/ / 5 / 8 .15 2 Es pot moure en l’interval [2, 8] 82 5. Energia potencial gravitatòria Exemple 17. Un cos de 5 kg de massa està sotmès a una energia potencial representada per Ep = x2 − 10 x, on l’energia està expressada en J i la distància en m.

Calculeu: b) Si el cos té una energia de −16 J: • Amb aquesta energia, el cos pot passar per la posició x = 1 m? El cos no pot passar per la posició x = 1 m, ja que aquest punt està fora de l’interval. Ep = x2 − 10 x = 12 − 10 · 1 = −9 J → −16 = −9 + Ec Ec < 0 imposible • Amb quina velocitat es mou quan passa per la posició x = 3 m? Ep = x2 − 10 x = 32 − 10 · 3 = −21 J Ec = E − Ep = −16 − (−21) = 5 J 83 5. Energia potencial gravitatòria 5.4.

Teledetecció Tècnica que s’utilitza en els satèl·lits artificials per a observar i estudiar objectes i fenòmens a distància, mitjançant radiacions electromagnètiques que emet el satèl·lit, les quals incideixen sobre l’objecte a estudiar i són reflectides i captades per un sensor receptor del satèl·lit per poder ser analitzades posteriorment. Permet: • Conèixer la Terra i l’atmosfera que l’envolta • Meteorologia i climatologia • Fer estudis geològics i de la vegetació terrestre • Treballar amb sistemes de geoposicionament global (GPS) i sistemes d’informació geogràfica (GIS) • Valorar la radiació solar que incideix i la que es reflecteix a la Terra • Comunicació a través dels mòbils 84 6.

Superfícies equipotencials Tots els punts en els quals el potencial té el mateix valor formen una superfície equipotencial. Per a una massa puntual m, les superfícies equipotencials són superfícies esfèriques concèntriques, ja que la distància de cada un dels punts de la superfície a la massa és la mateixa. Si r1 < r2 < r3 V1 < V2 < V3 El potencial creix en el sentit contrari al de la intensitat del camp gravitatori. La intensitat d’un camp gravitatori uniforme es representa per línies paral·leles i equidistants. Les superfícies equipotencials s’indiquen mitjançant superfícies planes i perpendiculars a les línies de camp. 85 6.

Superfícies equipotencials Propietats: • El treball fet per forces externes per desplaçar una massa per una superfície equipotencial sempre és nul. VA = VB ∆V = 0 W = m·∆V = 0 • Les línies de camp gravitatori són perpendiculars a la superfície equipotencial. dW = −m·dV = 0 m·g·dr·cos α = 0 cos α = 0 α = 90° ⃑ 7 ⃑ són perpendiculars 86 6. Superfícies equipotencials Dues superfícies equipotencials i quatre punts A, B, C i D. El treball fet per les forces externes per desplaçar una massa m des de A fins a C, seguint dos camins diferents: el camí ABC i el camí ADC.

WAC = WAB + WBC = m (V2 − V1) + 0 = m (V2 − V1) WAC = WAD + WDC = 0 + m (V2 − V1) = m (V2 − V1) El treball és independent del camí seguit. 87 6. Superfícies equipotencials 6.1. Relació entre el camp gravitatori i el potencial ∆Ep = −W El mòdul del camp gravitatori s’obté derivant el potencial respecte de la variable x i canviant de signe. 88 89

Més apunts de Física

Exàmens, temes i apunts de Física

Exámenes oficiales en PDF y soluciones: examenselectivitat.cat