Física 2n Batxillerat

I 44 flashcards i 42 preguntes més al document.

Text del document

Física2 2n Batxillerat José Luis Tourón © 2025 José Luis Tourón Llibre maquetat amb la plantilla LEGRAND ORANGE BOOK Llicenciat sota la llicència Creative Commons Attribution-Noncomercial 4.0 (la l.llicència"). No podeu utilitzar aquest fitxer, excepte en compliment de la llicència. Podeu obtenir una còpia de la llicència a https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0. Tret que ho requereixi per la llei aplicable o acordat per escrit, el programari distribuït en la llicència es distribueix de forma "TAL COM ÉS", SENSE GARANTIES NI CONDICIONS DE CAP TIPUS, JA SIGUI EXPRESSA O IMPLÍCITA. Consulteu la llicència per als permisos i limitacions específiques de l'idioma que regula la llicència.

Actualitzat: 29 de setembre de 2026 Índex Pròleg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I Gravitació 1 Les lleis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Dues visions de l'univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Lleis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Camp gravitatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Llei de gravitació universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Satèl·lits i velocitat orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Camp gravitatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Camp gravitatori creat per una massa puntual o amb simetria esfèrica . . . . . 30 2.2.2 Variació de la intensitat de camp gravitatori amb l'altitud . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Pes d'un cos de massa m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 30 2.2.4 Gravetat artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.5 Ingravidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.6 Camp gravitatori creat per una distribució de masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Lleis de conservació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1 Energia potencial gravitatòria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 3.1.1 Per què no puc fer servir l'expressió U = mgh com fins ara? . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Energia mecànica orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Velocitat d'escapament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.1 Quins planetes poden tenir atmosfera? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2 Forats negres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 Tipus d'òrbites segons l'energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 3.5 Moment angular de planetes i satèl·lits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5.1 Conservació del moment angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.5.2 Demostració de la 2a llei de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6 Òrbites de transferència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.7 Formació del sistema solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.8 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.9 Problemes PAU . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II Electromagnetisme 4 Camp elèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1 Càrrega elèctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 La força entre càrregues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3 Camp elèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4 Energia potencial electrostàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 4.4.1 Energia potencial d'una configuració de càrregues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.5 Potencial elèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.6 Treball produït per la força electrostàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.7 Camp a l'interior d'una esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.8 Camp elèctric entre plaques metàl·liques paral·leles . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.9 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.10 Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Camp magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1 Els imants permanents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2 El camp magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.3 El magnetisme terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.4 Relació entre electricitat i magnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.5 Força d'un camp magnètic sobre una càrrega mòbil . . . . . . . . . . . . . . .

87 5.6 Trajectòria d'una càrrega en un camp magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.7 Forces electromagnètiques sobre càrregues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.7.1 Selector de velocitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.7.2 Espectròmetre de masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.7.3 Ciclotró . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.8 Acció d'un camp magnètic sobre un corrent elèctric . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.9 Acció d'un camp magnètic sobre una espira.

Motor elèctric. . . . . . . . . 93 5.10 Fonts de camp magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.10.1 Camp magnètic creat per un conductor rectilini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.10.2 Camp magnètic creat per una espira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.10.3 Camp magnètic creat per un solenoide o bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.11 Interacció entre dos corrents paral·lels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.12 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.13 Problemes PAU . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6 Inducció electromagnètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.1 Flux magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.2 Llei de Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.3 Corrents de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.4 Generadors de corrent altern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.4.1 Valor eficaç . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.5 Transformadors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.6 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.7 Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 III Ones 7 Fenòmens periòdics i oscil·lacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.1 Fenòmens periòdics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.2 Període i freqüència . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.3 Moviment harmònic simple (MHS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.4 L'Equació del moviment harmònic simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.5 Velocitat i acceleració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.5.1 Oscil·lació d'una molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.6 El pèndol simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.7 L'energia del moviment harmònic simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139 7.8 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.9 Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8 Moviment ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.1 La matèria no és pas l'única cosa que es desplaça per l'espai. . . . . . 151 8.2 Característiques del moviment ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.3 Classificació de les ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.4 Tractament matemàtic de les ones . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.4.1 Les ones harmòniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.6 Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9 Fenòmens ondulatoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.1 Principi de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.2 Reflexió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.3 Refracció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.4 Difracció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.5 Interferència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.6 L'experiment de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.7 Ones estacionàries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.8 Efecte Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.9 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10 Les ones sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.1 Intensitat d'una ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.2 Nivell d'intensitat sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 10.3 Ones estacionàries en instruments musicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 10.3.1 Modes normals de vibració en cordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 174 10.3.2 Modes normals de vibració en tubs oberts per un extrem i tancats per l'altre 175 10.3.3 Modes normals de vibració en tubs oberts pels dos extrems . . . . . . . . . . . . . 176 10.4 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.5 Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11 Imatges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 11.1 Llei de la reflexió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186 11.2 Refracció de la llum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 11.3 Índex de refracció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 11.4 Deducció de la llei de Snell a partir del principi de Fermat . . . . . . . . . . 188 11.5 Reflexió total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 11.6 Miralls esfèrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 11.6.1 Formació d'imatges en miralls còncaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191 11.6.2 Formació d'imatges en miralls convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 11.7 Augment lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11.8 Les matemàtiques dels miralls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11.9 Lents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 11.9.1 Focus d'una lent convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 11.9.2 Potència d'una lent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197 11.9.3 Formació d'imatges per una lent convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 11.9.4 Focus d'una lent divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 11.9.5 Formació d'imatges per una lent divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 11.9.6 Les equacions de les lents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11.10 La visió i l'ull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11.10.1 Defectes de la visió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

202 11.11 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11.12 Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 IV Física moderna 12 Fenòmens quàntics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 12.1 La crisi de la física clàssica i el naixement d'una nova física . . . . . . . . 215 12.2 L'efecte fotoelèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7 12.3 Ones o partícules? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

219 12.4 Principi d'indeterminació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 12.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 12.6 Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 13 Introducció a la relativitat especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.1 La dilatació del temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.2 Energia i moment lineal en relativitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 13.2.1 Invariància . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 13.2.2 Altres geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 13.2.3 L'espaitemps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 13.2.4 A la cerca del vector moment lineal relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 13.3 Teoria de la relativitat general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 14 Física nuclear i radioactivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 14.1 Estructura del nucli atòmic . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 14.2 ¿Què fa que el nucli atòmic sigui estable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 14.3 Energia d'enllaç i defecte de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 14.4 Forma i mida del nucli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 14.5 La radioactivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 14.5.1 Llei de decaïment radioactiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 14.5.2 Activitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 14.6 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 14.7 Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 14.8 Dades útils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 V Apèndixs A Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 A.1 Mesura d'angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 A.2 Resolució de triangles rectangles . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 A.3 Funcions trigonomètriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 B Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 B.1 Coordenades cartesianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 B.2 Coordenades polars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 B.3 Multiplicació entre vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 272 C Resposta als exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Pròleg La Física és una disciplina que preten donar explicacions sobre com funciona la natura, des dels objectes més grans com tot l'univers fins els més petits, a l'escala subatòmica. Per fer-ho utilitza com llenguatge les matemàtiques per crear models a partir d'unes poques lleis que anomenarem principis o postulats i que es donen per vàlids a partir de la seva constatació experimental.

A vegades es pensa que per aprendre Física s'han de memoritzar moltíssimes fórmules però no és així, ja que a partir dels postulats es poden deduir la major part de les expressions matemàtiques que s'han de fer servir, per tant, la part més dificultosa de la matèria no és memoritzar fórmules sinó saber con utilitzar els postulats per adaptar-los a les diferents situacions que se'ns poden presentar. Per fer-ho el camí més adequat és entrenar-nos en analitzar múltiples situacions diferents a través de la resolució de problemes.

Al primer curs vam estudiar la mecànica clàssica, durant aquest curs ens obrirem als altres camps de la Física, com ser la gravitació, els camps electromagnètics, l'estudi dels fenòmens ondulatoris i farem una introducció als fenòmens quàntics, la relativitat i la física nuclear. El repte més important que tenim per davant serà com aprendre tots aquests temes de manera efectiva, ja que s'acostuma a percebre com uns dels reptes acadèmics més grans, perquè no requereix només memòria, sinó una comprensió conceptual profunda i habilitats d'abstracció.

La neurociència de l'aprenentatge ha demostrat que el cervell no és un magatzem passiu, sinó un òrgan plàstic que es reestructura a través de la pràctica conscient, utilitzarem aquests resultats per cercar la manera més efectiva d'aprendre. La ciència del neuroaprenentatge ha fet molt avenços i hi ha molta informació sobre quines són les pràctiques més efectives per aprendre de manera efectiva. Intentarem donar aquí algunes pautes i us demanarem que les poseu en pràctica. Principis bàsics de la neurociència aplicats a l'aprenentatge de la Física Alternança entre el mode focalitzat i el difús: El cervell té dos modes de funcionament.

Per aprendre les fórmules o entendre un enunciat cal el mode focalitzat. Tanmateix, quan et bloqueges en un problema difícil, la solució sovint arriba en el mode difús (quan camines, et dutxes o descanses), ja que la xarxa per defecte (Default Mode Network) continua connectant idees de fons. Consolidació a través del son: El cervell no fixa els conceptes abstractes mentre s'estudia, sinó durant les fases de son profund (NREM) i REM. Estudiar de nit sacrificant hores de 10 Pròleg son degrada la plasticitat sinàptica i la capacitat de resolució de problemes l'endemà. Passa sovint que ens bloquegem amb un problema i anem a dormir sense saber com fer-ho i ens llevem al matí amb la solució al cap.

Càrrega cognitiva i esquemes mentals: La memòria de treball és limitada. Per no saturar-la amb massa informació alhora, la Física s'ha d'estructurar en esquemes o «blocs» (chunking) que uneixin teoria i matemàtica en un mateix concepte visual. Estratègies pràctiques per estudiar Física Aplica l'evocació activa Llegir i subratllar apunts crea una falsa sensació de domini (il·lusió de saber). Tanca el llibre i intenta explicar la llei de la gravetat o deduir una fórmula en un paper en blanc des de zero. L'esforç mental de recuperar la informació enforteix les connexions sinàptiques.

Reflexionar sobre el que hem fet un cop resolt un problema Moltes vegades no es tracta de resoldre molts problemes sinó de reflexionar sobre els conceptes que es treballen en un determinat problema, pensar si hi ha maneres alternatives de resoldre'l, quins principis es posen en joc, com podem replantejar el problema fent servir els resultats com dades i les dades com incògnites, quins nous problemes es poden generar a partir del que hem resolt, etc.

Aquesta pràctica ens permetrà entendre els conceptes de manera més profunda i evitarà bloquejos a l'examen o el «quedar-nos en blanc» ja que això sempre passa però si ens trobem amb aquesta situació quan estem estudiant sempre resulta menys penós que trobar-nos amb aquesta situació el dia de l'examen. Utilitza la pràctica intercalada En lloc de resoldre 20 exercicis seguits del mateix tipus (p. ex., només pla inclinat), barreja exercicis de diferents tipus (cinemàtica, dinàmica i energia) en la mateixa sessió. Això entrena el cervell en l'habilitat crucial de reconèixer quin principi aplicar, que és el punt on la majoria d'estudiants falla en els exàmens.

Espaiar l'estudi en el temps Repassa els conceptes teòrics i torna a fer problemes clau en intervals creixents (l'endemà, als 3 dies, a la setmana, als 15 dies). Això combat la «corba de l'oblit» de Ebbinghaus i força el cervell a consolidar la informació en la memòria a llarg termini. Aprofita la tècnica Feynman (Metàfores i analogies) Explica un concepte complex (com el principi d'acció i reacció o l'energia potencial) amb un llenguatge tan senzill que un nen de 10 anys el pugui entendre. Si necessites acudir a tecnicismes o t'empesques en l'explicació, has detectat exactament el forat en la teva comprensió conceptual.

Explicar a un company és una molt bona pràctica que, a més d'ajudar a un altre ens ajuda a nosaltres a consolidar els conceptes i trobar els nostres punts febles. Fes descansos estratègics Quan portis 20 minuts bloquejat en un problema de Física sense cap progrés, atura't. Deixa el problema de banda i fes una pausa de 10 minuts sense pantalles. Deixa que el mode difús del cervell trobi noves rutes d'associació. Visualitza i dibuixa (Doble codificació) El cervell processa la informació visual i la verbal per vies diferents. No comencis mai un problema de Física amb equacions: fes primer un esquema visual, un diagrama de cos lliure o representa el Pròleg 11 vector.

Connectar la representació espacial amb l'àlgebra facilita la feina a la memòria de treball. Evita distraccions Els estímuls externs al nostre objecte d'estudi competeixen per la nostra atenció, hem d'intentar evitar interferències per poder focalitzar la nostra atenció. Quan estem estudiant o treballant sobre un problema hem de procurar no tenir el mòbil a prop, ja que la temptació de mirar-lo és molt alta, el mòbil és el nostre gran enemic en quant a atenció a l'estudi, intenteu dosificar el seu ús i feu-lo servir amb seny.

Utilitza la IA amb intel·ligència (la teva) La intel·ligència artificial pot ser una eina molt útil per a l'aprenentatge però si la fem servir com tutor d'aprenentatge, no perquè ens faci la feina. Si hi ha un tema que no entens pots demanar-li que t'ho expliqui de maneres diferents, posant exemples, fent servir analogies, etc. Si estàs tractant de resoldre un problema i t'encalles no li demanis a la IA que et faci el problema, fes-li preguntes sobre el concepte que no entens de manera que t'ajudi a desencallar el problema i continua avançant per tu mateixa.

També pots demanar la IA que et proposi variacions sobre els problemes, pots pujar una captura de la teva resolució i demanar-li que et faci una correcció i et doni un feedback sobre els conceptes que encara no controles. Si fas servir Gemini pots fer servir el mode «Aprenentatge guiat», això et forçarà a contestar les qüestions que et fa la plataforma per aprendre un tema de manera seqüenciada. Fes simulacres d'examen A vegades tenim la sensació de que els problemes els podem resoldre però quan arriba el moment de l'examen " ens bloquegem" o "ens quedem en blanc", les coses "les sabem" però amb el temp corrent no tenim prou tranquil·litat perquè les coses puguin fluir.

Aquesta és una sensació normal quan estem sota pressió i per aconseguir evitar aquesta situació hem d'anar a l'examen prou segurs de nosaltres i dels nostres coneixements. Potser a casa els problemes els resolem però passem una tarda amb un problema, això no està malament i és normal quan comencem a treballar un tema nou però quan anem a un examen hem de tenir prou treballats els problemes perquè els puguem fer en vint minuts. Per aconseguir aquest rendiment hem de practicar posant-nos en «mode examen», això vol dir controlar el temps i constatar que els problemes els podem resoldre en el temps estipulat. Amb aquesta pràctica aconseguirem evitar bloquejos el dia de l'examen.

Aquests han estat alguns dels consells que podem donar abans de començar el curs, l'aplicació d'aquestes receptes de manera sostinguda serà de gran ajuda a l'aprenentatge d'aquesta maravellosa disciplina que ens permetrà entendre millor el món en el que vivim. Èxit amb el vostre aprenentatge!1 1Per aprofundir en tècniques efectives d'aprenentatge podeu consultar els llibres "En blanco" de Juan Fernández i "Coneix el teu cervell per aprendre a aprendre" de l'Héctor Ruiz Martín. I Gravitació 1 Les lleis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Camp gravitatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Lleis de conservació . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.

Les lleis de Kepler Imaginem-nos per un instant com havien de viure a l'antiguitat, amb un desconeixement total del que sabem avui dia sobre el funcionament de l'univers, exposats totalment als fenòmens naturals que no sabien explicar. Davant d'aquesta situació resulta comprensible que s'atribuís a forces sobrenaturals esdeveniments com tempestes excepcionals, terratrèmols, meteorits, etc. Actualment, degut al les distraccions que tenim a la vida moderna, com ser els telèfons mòbils i la televisió i també a la contaminació lumínica, no parem atenció al cel però, a l'antiguitat, el cel era un lloc on trobar respostes a les coses que passaven.

L'ésser humà es caracteritza per la seva capacitat per trobar patrons i davant aquesta situació d'indefensió davant la natura resultava tranquil·litzador trobar regularitats que poguessin donar explicacions als esdeveniments naturals i, d'aquesta manera poder anticipar els esdeveniments futurs. Com resultat de l'observació d'aquests patrons de regularitat observats al cel es van poder establir fenomens que es tornen a repetir periòdicament i que defineixen cicles. Així tenim que hi ha un cicle gran al que anomenem any on les estrelles que s'observen al firmament tornen a passar pel mateix lloc i, dintre d'aquest període observem regularitats que defineixen les estacions.

Avui sabem que l'any ve donat pel període de rotació de la Terra al voltant del Sol i que les estacions estan relacionades amb l'angle d'inclinació de l'eix de la Terra respecte al pla definit pel l'eclíptica1. El temps de duració del dia el tenim definit pel moviment de la Terra al voltant del seu propi eix però en l'antiguitat el que es pensava que es movia era el Sol i que la Terra estava quieta al centre de l'univers2. Aquesta visió de la realitat va ser posada en qüestió per homes com Copèrnic, Kepler i Galileu i durant un temps van conviure dues visions contraposades de l'univers.

1.1 Dues visions de l'univers Des del segle IV AC fins al segle XVII la visió que es tenia de l'univers va ser la que s'havia heretat d'Aristòtil. L'univers aristotèlic es dividia en dues regions ben diferenciades. La regió sublunar era la regió interior, que abastava des del centre de la Terra fins a l'òrbita lunar. La resta de l'univers finit era la regió supralunar, que s'estenia des de l'òrbita de la lluna fins a l'esfera 1L'angle d'inclinació de l'eix de la Terra fa que els raigs de Sol arribin a les diferents latituds de la Terra amb angles diferents i així quan a l'emisferi nord és estiu al sud és hivern.

L'eclíptica és el nom que rep el camí que segueix la Terra al voltant del Sol i s'anomena així perquè quan la Lluna travessa el pla definit per aquesta corba i es troba entre la Terra i el Sol és quan es produeixen els eclipsis. 2En realitat els grecs antics ja coneixien el fet de que la Terra girava al voltant del Sol i que la Terra era rodona, coneixement que es va perdre a favor d'una visió antropocèntrica promoguda per l'església. Aquests coneixements es van recuperar després en l'etapa de la història que coneixem com Renaixement. 16 Capítol 1. Les lleis de Kepler de les estrelles. Més enllà de l'esfera de les estrelles no hi havia res, ni tan sols l'espai.

Tots els objectes de la regió supralunar estaven fets d'un material incorruptible anomenat èter. L'èter tenia la tendència natural a moure's al voltant del centre de l'univers en cercles perfectes. Tot era regular, perfecte i incorruptible en la regió supralunar. Pel contrari, la regió sublunar estava caracteritzada per la imperfecció: el canvi, el creixement i la decadència, la generació i la corrupció.Totes les substàncies de la regió sublunar estaven composades per quatre elements: aire, terra, foc i aigua i les proporcions relatives d'aquests elements en una mescla determinaven les propietats de la substància així constituïda. Cada element tenia el seu lloc natural a l'univers.

El lloc natural de la terra era el centre de l'univers; el lloc de l'aigua era la superfície de la Terra; el de l'aire la regió que hi ha immediatament damunt la superfície de la Terra; i el del foc la part superior de l'atmosfera, prop de l'òrbita de la Lluna. Cada objecte terrestre tenia un lloc natural segons les proporcions del quatre elements que contingués. Les pedres per contenir majoritàriament terra tenen el seu lloc natural al centre de l'univers, i això explicava que quan deixem anar una pedra té la tendència a anar al seu lloc natural i, per això, cau. Les flames estan constituïdes majoritàriament per foc i, per això, tenen tendència a anar cap amunt.

Aquests són moviments naturals. Tots els moviments que no són naturals necessiten una causa. Les fletxes necessiten ser llançades per un arc i els carros tirades per cavalls. Seguint les línies traçades per l'ideari aristotèlic, Ptolemeu al segle II va crear un sistema astronòmic detallat que establia les òrbites de la Lluna, el Sol i tots els planetes. Figura 1.1: Aristòtil (a) i Ptolomeu (b) van configurar la visió de l'univers que va ser prevalent durant l'antiguitat i l'edat mediana amb la Terra al centre de l'univers i amb el Sol, els planetes i les estrelles girant al seu voltant. El sistema geocèntric creat per Ptolomeu tenia alguns problemes per descriure el moviment dels planetes.

Per exemple, era ben conegut que el moviment del planeta Mart al cel presentava una trajectòria estranya, semblava avançar sobre el cel durant un temps per a desprès retrocedir i tornar a avançar després. Aquest fet no tenia explicació dintre del model i Ptolemeu va haver d'afegir un artifici: els epicicles. D'aquesta manera els planetes durant el seu moviment circular al voltant de la Terra anaven fent cercles al voltant de la trajectòria circular. Durant les primeres dècades del segle XVI, el monjo polonès Nicolau Copèrnic va idear una nova astronomia on la Terra es movia i qüestionava la visió aristotèlica-ptolemaica.

En aquest nou sistema el centre de l'univers estava ocupat pel Sol i tant la Terra con la resta d'astres es movien al 1.1 Dues visions de l'univers 17 Figura 1.2: Moviment d'un planeta amb epicicles que permetien explicar el comportament estrany al voltant de la Terra. seu voltant. Aquest model heliocèntric canviava el centre de l'univers i deixava de donar el seu protagonisme a l'ésser humà, l'home deixava de ser la gran creació de Déu. Aquesta revolució va produir molts problemes amb l'església catòlica. Figura 1.3: En el model heliocèntric l'explicació del moviment retrògrad de Mart té una explicació senzilla.

Copèrnic era membre de l'esglèsia i no es va animar a publicar els seus resultats, la visió copernicana va ser defensada per Giordano Bruno, altre membre de l'església, que va pagar amb la seva vida la seva gosadia. Altre defensor de la teoria copernicana va ser Galileo Galilei, que va ser comdemnat per l'església a la pena de presó i a retractar-se si no volia acabar com en Bruno. El model de Copèrnic va tardar en imposar-se, en aquella época un astrònom danès, en Tycho Brahe, era qui tenia les millors dades d'observació astronòmiques existents (recordem que encara no s'havia inventat el telescopi). Brahe volia fer servir les seves dades per a demostrar la validesa del model geocèntric.

A la seva mort va deixar tots els seus arxius al seu ajudant, el matemàtic Johannes Kepler, que va analitzar les dades, va confirmar la validesa del model copernicà i va anar 18 Capítol 1. Les lleis de Kepler més enllà descobrint tres lleis que van revolucionar la visió de l'univers. Figura 1.4: Nicolau Copèrnic (a) va oferir una nova visió de l'univers on el Sol es trobava al centre i la Terra era un planeta més, Giordano Bruno (b) i Galileu (c) van ser els defensors més impportants dels sistema heliocèntric i van ser comdemnats per l'església per contradir les sagrades escriptures.

Figura 1.5: Tycho Brahe (a) amb les seves dades experimentals del moviment dels planetes i Johannes Kepler (b) amb el seu anàlisi de les dades i formulació de les ara conegudes con tres lleis de Kepler, van fer les aportacions necessàries per consolidar la visió heliocèntrica de l'univers i van fer les primeres predicions sobre el moviment planetari. 1.2 Lleis de Kepler Després de la mort de Tycho Brahe, Kepler va poder accedir a les seves dades d'observació astronò- mica i va centrar-se en l'òrbita de Mart que semblava la més estranya. Fidel a la tradició aristotèlica, Kepler va intentar ajustar l'òrbita de Mart a una circumferència però les dades experimentals es negaven a encaixar.

Una cosa que s'ha de reconèixer a Johannes Kepler és que mai va cedir a la temptació de descartar dades experimentals per ajustar la teoria a la seva visió del món, més a viat el contrari, va abandonar la seva concepció de com havia de funcionar la realitat i, com resultat, va produir una revolució científica. 1.2 Lleis de Kepler 19 Com a primera mesura va deixar de forçar l'encaix de l'òrbita de Mart a una circumferència i va provar amb altres alternatives, una possibilitat era provar amb una el·lipse, corba que, juntament amb la circumferència forma una família de corbes anomenades còniques, ja que surten de fer talls d'un con a diferents angles.

L'el·lipse va encaixar perfectament amb les dades experimentals. Figura 1.6: L'el·lipse, igual que la circumferència, formen part de la família de corbes anomenades còniques perquè es generen a partir del tall a diferents angles d'un con. Com a resultat d'un tall horitzontal es genera un cercle, d'un tall paral·lel al costat del con surt una paràbola, d'un tall intermig surt l'el·lipse i d'un tall vertical surt la hipèrbola. L'el·lipse es podria considerar una generalització de la circumferència.

Per dibuixar una el·lispse escollim dos punts anomenats focus de l'el·lipse indicats com f1 i f2 a la Figura 1.7, on fixem els extrems d'un fil i amb un llapis estirem el fil i podem dibuixar l'el·lipse mantenint el fil estirat s'indica a la Figura 1.7 (a), ja que les el·lipses tenen la característica de que la suma de las distàncies de la corba als focus és constant. Així Kepler va arribar a enunciar la seva primera llei del moviment planetari. Llei 1.1 — Primera llei de Kepler. Les òrbites dels planetes són el·lipses amb un dels focus situat al centre del Sol.

Una circumferència té un punt característic, el seu centre, i una longitud característica, la distància del centre a la corba anomenat radi de la circumferència. Una el·lipse en canvi té dos punts característics anomenats focus i dues longituds característiques, el semieix major a i el semieix menor b (veure Figura 1.7 (b)). Un altre paràmetre a tenir en compte amb l'el·lipse és l'excentricitat ε , que pren valors entre 0 i 1 i que ens dona informació de com es diferencia d'una circumferència. El planetes del sistema solar tenen una excentricitat molt baixa i per fer càlculs aproximats es pot fer la suposició d'òrbita circular.

El planeta amb l'òrbita més excèntrica és Mercuri amb ε = 0,2056 i el de menor excentricitat és Venus amb ε = 0,0068. El cometa Halley, amb un període de 76 anys té una òrbita amb ε = 0,9671. 20 Capítol 1. Les lleis de Kepler Figura 1.7: (a) La suma de les distàncies r1 +r2 = a resulta constant en una el·lipse. (b) Els punts f1 i f2 són els focus de l'ell.lipse. La distància a correspon al semieix major i b al semieix menor. El paràmetre adimensional 0 ε < 1 es coneix com l'excentricitat de l'el·lipse. Si ε = 0 l'ell.lipse es transforma en una circumferència i a mesura que l'excentricitat es fa més gran l'el·lipse els focus s'allunyen i la corba es fa més allargada.

Una altra característica observada per Kepler va ser que els planetes no es mouen a velocitat constant sinó que la velocitat varia segons la distància del planeta al Sol, viatjant més ràpid quan més a prop del Sol es troba. Llei 1.2 — Segona llei de Kepler. El segment que uneix el centre del Sol i el planeta escombra àrees iguals en temps iguals. Figura 1.8: La segona llei de Kepler estableix la constància de la velocitat areolar. L'àrea A1 és igual a l'àrea A2 i el temps que tarda en escombrar aquestes àrees són iguals. ! Encara que les lleis de Kepler fan referència als planetes i el Sol, els resultats són aplicables a tots els planetes i astres que giren al voltant de qualsevol estrella.

I encara més! La llei serveix per a qualsevol sistema d'astres girant al voltant d'un altre, per tant s'aplica a sistemes satel·litals. Una altra observació de Kepler va ser que el temps del període orbital està relacionat amb la distància mitjana del planeta a la seva estrella o del satèl·lit al seu planeta. La tercera llei quantifica aquesta relació. 1.2 Lleis de Kepler 21 Llei 1.3 — Tercera llei de Kepler. El quadrat del temps que tarda un planeta a descriure la seva òrbita és directament proporcional al cub del semieix major de la seva òrbita.

Si designem com T al temps que tarda la Terra en completar una òrbita al voltant del Sol, anomenat període de l'òrbita, tenim que la tercera llei de Kepler es pot enunciar matemàticament de la manera següent: T2 = Ca3 (1.1) on a és la longitud del semieix major de l'òrbita, que coincideix amb el valor mitjà de la distància entre l'estrella i el planeta. La constant de proporcionalitat C depen del sistema planetari, així, tots els planetes del sistema solar comparteixen la mateixa constant. ! La constant de Kepler té unitats de temps al quadrat dividit per longitud al cub i no necessitem fer servir obligatoriament unitats del SI.

Una pràctica habitual és la de fer servir l'any com unitat de temps i la distància mitjana entre la Terra i el Sol com unitat de longitud. Aquesta unitat té el nom d'unitat astronòmica i es designa com ua o UA i val 1 ua = 149 597 870 700 m. Amb aquestes unitats la constant de Kepler del sistema solar té el valor 1 any2 ua3 . Si considerem dos planetes podem relacionar els seus períodes de rotació al voltant de la seva estrella i les seves distàncies mitjanes a l'estrella utilitzant la 3a llei de Kepler per obtenir la relació: T1 T2 2 = r1 r2 3 (1.2) Fent servir l'equació 1.2 podem trobar un dels factors si coneixem els altres tres.

Exemple 1.1 Mesurem el període orbital del planeta Mart al voltant del Sol i determinem que és de 687 dies. Determinar la distància entre Mart i el Sol sabent que la distància entre la Terra i el Sol és de 1,496×1011 m.

Coneixem les dades de distància al Sol (rT) i període orbital de la Terra (TT) i també el període orbital de Mart (TM), fent servir la 3a llei de Kepler podrem trobar la distància de Mart al Sol: T2 M = Cr3 M T2 T = Cr3 T Com que els dos planetes formen part del mateix sistema planetari, la constant C és la mateixa, si dividim membre a membre ambdues equacions obtenim la relació T2 M r3 M = T2 T r3 T (1.3) on les constants C es van cancel·lar a l'expressió 1.3, d'on podem aïllar rM: rM = 3 s TM TT 2 rT = 3 s 687 365.25 2 ×1,496×1011 m rM = 1,52×1,496×1011 = 2,280×1011 m La distància de Mart al Sol és de 2,280 m. 22 Capítol 1.

Les lleis de Kepler Exemple 1.2 El planeta Mart té dues llunes: Fobos i Deimos. La òrbita de Fobos té un radi de 9377 km i tarda 7,66 h a completar-la. Deimos es troba a 23460 km del centre de Mart. Quant tarda Deimos en completar una òrbita al voltant de Mart? Les lleis de Kepler no només s'apliquen al sistema solar o a un sistema planetari, sinó també a qualsevol sistema satel·lital (siguin satèl·lits naturals o artificials). Per tant, podem fer servir l'expressió 1.2 per resoldre el problema. Així: TD TF 2 = rD rF 3 (1.4) TD = s rD rF 3 TF = s 23460 9377 3 ×7,66 h = 3,96×7,66 = 30,31 h El període de Deimos és de 30,31 hores.

Podem observar que no necessitem utilitzar unitats del sistema internacional, només tenim la condició de fer servir les mateixes unitats per les magnituds temporals i les mateixes per a les espacials. 1.3 Problemes 23 1.3 Problemes Problema 1.1 La Terra és a 150 000 000 km del Sol i l'estrella més propera és a una distància 250 000 vegades la distància Terra-Sol. (a) Escriviu aquestes quantitats en notació científica. (b) Determineu la distància en km de la Terra a l'estrella més propera. (c) Escriviu les distàncies anteriors en ua. Problema 1.2 A partir de les dades de la taula següent, calculeu el radi de l'òrbita del planeta Júpiter.

Planeta Radi òrbita (km) Període (anys) Terra 149,6×106 1,0 Júpiter 11,9 Problema 1.3 El 19/02/2011 va aparèixer aquesta notícia al diari EL PAÍS: "Internet se prepara para dar el gran salto a los países pobres. Una red de tecnología avanzada y de envergadura planetaria ofrecerá cobertura de banda ancha a unos 3.000 millones de personas. Bautizado como O3b Networks (Other 3 billion, otros 3.000 millones, la mitad de la población mundial), el proyecto para conseguir un Internet global se basa en el lanzamiento de una constela- ción de satélites en órbita ecuatorial que llevarán la señal desde Nicaragua hasta Nueva Zelanda, pasando por Brasil, Nigeria, Siria, Etiopía o India.

[...] Pero a diferencia de los que se utilizan, por ejemplo, para distribuir canales de televisión en Europa, no estarán situados en órbita geoestacionaria (a 36.000 kilómetros de altura) sino a 8.063, lo que les permitirá ganar en velocidad de transmisión al estar cuatro veces más cerca de la Tierra." Tenint en compte la informació donada en la nota determineu: (a) Quina seran les velocitats angular i lineal dels satèl·lits. (b) Quant de temps es guanyarà en les transmissions d'anada i tornada de la informació comparat amb el cas de satèl·lits geoestacionaris.

NOTA: Els satèl·lits geoestacionaris tenen òrbites equatorials i tenen un període igual al de rotació de la Terra sobre el seu eix, la qual cosa fa que sempre estiguin ubicats sobre la mateixa localització. DADES: Radi de la Terra: RT = 6,38×106 m, velocitat de la llum: c = 3×108m/s Problema 1.4 Completeu les cel·les buides de la taula següent: Planeta Radi de l'òrbita (109 m) Període (anys) Mercuri 0,2408 Venus 108,2 Terra 149,6 1,000 Mart 228,0 2. Camp gravitatori 2.1 Llei de gravitació universal Les lleis de Kepler van significar el començament de la ciència moderna on les teories no només podien explicar els fenomens observats sinó fer prediccions.

Isaac Newton va fer un pas més establint una llei que explicava el moviment dels planetes a partir d'una causa (la força) que, a través d'una expressió matemàtica podia explicar les tres lleis de Kepler i, a més a més, fer servir la mateixa llei per explicar el moviment dels planetes i la caiguda dels cossos, com ser una poma, a la superfície de la Terra. Les regions sublunar i supralunar d'Aristòtil en realitat estaven regides per les mateixes lleis. Quin raonament va seguir Newton per a deduir la seva llei de gravitació? Considerem el cas d'un cos girant al voltant d'un altre en moviment circular, com si fos la Lluna girant al voltant de la Terra.

En aquest cas tenim que la força que genera el moviment es pot escriure: F = ma = m v2 r (2.1) A diferència d'un cos que fem girar lligat a un fil, en aquest cas la força no la feia un agent tangible com ser una corda, la força és una acció a distància sobre la que Newton no volia fer cap hipòtesi 1. Newton sabia que la llei fonamental per a la força no podia dependre de la velocitat perquè els cossos no són més pesats pel seu estat de moviment. La velocitat havia de dependre d'altres magnituds, i per a un moviment circular tenim que: v = 2πr T on r és el radi de l'òrbita i T el període.

D'aquesta manera l'expressió de la força queda: F = 4π2mr T2 (2.2) 1La frase que va utilitzar Newton a la seva obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica va ser «Hypotheses non fingo» (no faig hipòtesis). Encara que no li agradava aquesta situació ell volia descriure el funcionament de l'univers i no deia res sobre les causes 26 Capítol 2. Camp gravitatori Utilitzant la tercera llei de Kepler per a una òrbita circular 2: T2 = Cr3 (2.3) on C és la constant de Kepler que vam introduir el capítol passat. Si reemplacem l'expressió 2.3 en l'expressió 2.2 obtenim: F = 4π2 C m r2 (2.4) La força que el Sol exerceix sobre els planetes és inversament proporcional al quadrat de la distància 3.

Aleshores Newton va fer una hipòtesi arriscada i genial, va postular que les forces entre els cossos celestes tenen el mateix origen que les forces entre els cossos de la Terra. Aquesta visió es coneix com síntesi newtoniana i constitueix una de les fites que estableixen el naixement de la ciència moderna.

Newton va tenir una idea genial per a verificar aquesta hipòtesi, si la llei era la mateixa per a la força que fa la Terra sobre la Lluna que la que fa la Terra sobre una poma que cau, fent servir l'expressió 2.4, les forces es podien escriure: FTerra poma = 4π2 C mpoma (rTerra)2 FTerra Lluna = 4π2 C mLluna (rTerra Lluna)2 De la segona llei de Newton a = F/m obtenim apoma = 4π2 C 1 (rTerra)2 aLluna = 4π2 C 1 (rTerra Lluna)2 En l'època de Newton ja se sabia que la distància Terra-Lluna era 60 vegades el radi de la Terra (Hiparc, 150 AC) 4.

Per a validar la seva hipòtesi Newton havia de verificar que l'acceleració de la Lluna era 3600 = 602 més petita que l'acceleració de la poma, que val 9,8m/s2. Va determinar l'acceleració de la Lluna fent servir: a = v2/r (acceleració centrípeta) i efectivament va comprovar que era 3600 vegades més petita que 9,8m/s2! Newton havia trobat uns dels secrets millor guardats per la natura! La constant multiplicativa que ens apareix és 4π2/C, que depen de la constant de Kepler, que ja haviem vist que depen del sistema solar o planetari considerat, per tant no és una constant universal.

Per altra banda, per a que sigui vàlid el principi d'interacció (acció i reacció), la força havia de ser simètrica respecte del cossos que interactuaven, per tant, la intensitat de la força també depèn del cos que la produeix. Així, la constant multiplicativa la podem expressar com una constant universal per la massa del segon cos, per exemple la massa de la Terra si estem considerant la interacció de la terra amb un altre cos, sigui un satèl·lit o una poma. A continuació presentem la llei de gravitació universal que va proposar l'Issac Newton. 2Newton no fa menció de la tercera llei de Kepler a la seva obra però la fa servir en el seu raonament.

3L'astrònom Edmund Halley, amic d'en Newton va anar a veure'l per fer-li algunes consultes sobre el moviment dels planetes i Newton li va contestar que ja havia resolt el problema però que no havia publicat els resultats. Va ser Halley qui va insistir perquè publiqués els seus resultats en la que va acabar sent la seva obra màxima, els "Principia". 4Veure el capítol 1 de Física 1 (1r de batxillerat). 2.1 Llei de gravitació universal 27 Figura 2.1: La distància Terra-Lluna és 60 vegades més gran que el radi de la Terra. Llei 2.1 — Llei de gravitació universal.

F = G m1m2 r² (2.5) on m1 i m2 són les masses dels dos cossos que interactuen, r és la distància de separació dels centres de masses dels dos cossos i G és una constant anomenada constant de gravitació universal i val G = 6,67×10 11 Nm2 kg 2 (2.6) El valor de G és independent dels cossos que interactuen i ens diu que la força gravitatòria és molt petita, així dues masses d'1 kg separades per una distància d'1 m experimentaran una força de 6,67×10 11 N.

Figura 2.2: La interacció gravitatòria és molt dèbil, la constant G dona una valoració de la magnitud d'aquesta interacció, veurem al llarg del curs que, de totes les interaccions de la natura és la més feble, la percepció que tenim del nostre pes es deu a que la Terra té una massa molt gran i fa que la força sigui prou apreciable. La força gravitatòria té la direcció de la recta que uneix els cossos que interactuen i el sentit de la força ve donat pel fet de que la força sempre és atractiva. Per a tenir en compte aquests fets la força ha de ser una magnitud vectorial.

L'expressió de la llei de gravitació universal en forma vectorial és Llei 2.2 — Llei de gravitació universal (expressió vectorial). F = G m1m2 r2 r̂ (2.7) 28 Capítol 2. Camp gravitatori on r̂ és el vector unitari (versor) que apunta des del cos que produeix la força cap al cos que la rep. Amb aquesta convenció, el signe menys apareix per a indicar que la força és atractiva (veure Figura 2.3). Figura 2.3: La llei de gravitació universal té la direcció que uneix els cossos interactuants i el sentit sempre és atractiu. L'expressió (2.7) descriu la força produïda per masses puntuals o a l'exterior de masses amb simetria esfèrica.

2.1.1 Satèl·lits i velocitat orbital Si damunt d'una muntanya llancem una bala amb un canó aquest farà una trajectòria curvilínia fins que cau al terra, si llancem la bala amb més velocitat hi arribarà més lluny. Ens preguntem: hi haurà una velocitat per a la qual llancem una bala i no acabi mai de caure? La resposta és afirmativa i aquesta velocitat es diu velocitat orbital. Figura 2.4: Si llancem una bala de canó suficientment ràpida la podrem posar en òrbita. Així funcionen els satèl·lits. El tipus d'òrbita depèn de la velocitat de llançament. Considerem l'òrbita circular d'un cos de massa m al voltant d'un planeta de massa M.

Si el moviment és produït per la interacció gravitatòria, l'expressió de la força serà: FG = G Mm r2 és la centrípeta: Per la segona llei de Newton (FG = ma) i, tenint en compte que l'acceleració serà la centrípeta (a = v2/r), tenim que mv2 r = G Mm r2 i, si aïllem v obtenim: v = r GM r (2.8) que és la velocitat orbital del satèl·lit. Quan més gran sigui el radi de l'òrbita més petita serà la velocitat. Aquesta mateixa expressió es pot aplicar als planetes al voltant del Sol. 2.1 Llei de gravitació universal 29 Figura 2.5: Moviment del satèl·lit al voltant del planeta. La força gravitatòria permet curvar la trajectòria.

Per a una determinada altura tots els satèl·lits tindran la mateixa velocitat, aquesta velocitat es coneix com velocitat orbital. Exercici 2.1 L'Estació Espacial Internacional (EEI) es troba girant al voltant de la Terra en òrbita baixa anomenada LEO (Low Earth Orbit) a una altura de 400 km respecte de la superfície de la Terra. Determina: (a) Quant tarda l'EEI en fer una volta completa a la Terra. (b) La seva velocitat orbital DADES: G = 6,674×10 11 N·m2 ·kg 2 Radi de la Terra RT = 6 378km Massa de la Terra: MT = 5,972×1024 kg Exercici 2.2 El Meteosat és un satèl·lit geoestacionari, és a dir, que gira en el pla equatorial amb la mateixa velocitat angular que la Terra.

A quina distància de la superfície de la Terra es troba? DADES: G = 6,674×10 11 N·m2 ·kg 2 Radi de la Terra RT = 6 378km Massa de la Terra: MT = 5,972×1024 kg 30 Capítol 2. Camp gravitatori 2.2 Camp gravitatori Definició 2.1 — Camp gravitatori. Anomenem camp gravitatori a un camp vectorial en qual a cada punt de l'espai li correspon un vector anomenat intensitat de camp gravitatori. La intensitat de camp gravitatori en un punt és la força per unitat de massa que actua sobre aquest punt. g = F m (2.9) La intensitat de camp és un vector de la mateixa direcció i sentir que la força però podem pensar que el camp té una existència independent de que hi hagi un cos massiu que rebi la interacció.

La unitat de intensitat de camp gravitatori en l'SI és newton per kilogram (N/kg). 2.2.1 Camp gravitatori creat per una massa puntual o amb simetria esfèrica A partir de la força que dóna la llei de gravitació F = G m1m2 r2 r̂ (2.10) podem obtenir l'expressió de la intensitat de camp creat per la massa m1 g = F m2 = G m1 r2 r̂ (2.11) Figura 2.6: El camp gravitatori en el punt P és una propietat que depèn de la massa m i de la distància r. 2.2.2 Variació de la intensitat de camp gravitatori amb l'altitud La intensitat de camp gravitatori depèn de l'altura.

L'expressió del mòdul de la intensitat de camp gravitatori de la Terra amb l'altura és g = G MT (RT +h)2 (2.12) on MT = 5,98×1024 kg és la massa de la Terra i RT = 6,38×106 més el radi mig de la Terra. Si fem servir aquests valors i fem h = 0 obtenim el valor g = 9,8N/kg que és el valor que mesurem a la superfície de la Terra. 2.2.3 Pes d'un cos de massa m El pes d'un cos de massa m és P = mg 2.2 Camp gravitatori 31 Un cos de massa 1 kg tindrà un pes sobre la superfície de la Terra de 9,8N, però a una altura més gran el pes anirà minvant. Per a mesurar força hi ha altres unitats, com ser el kilopond (kp).

La seva relació amb el newton és 1kp = 9,8N Un cos d'1 kg de massa tindrà un pes d'1 kp sobre la superfície de la Terra però només 1,6 kp sobre la superfície de la Lluna. 2.2.4 Gravetat artificial Albert Einstein va publicar l'any 1915 la teoria general de la relativitat que estableix l'equivalència entre un camp gravitatori i un sistema accelerat, és a dir, un sistema accelerat té el mateix compor- tament que un camp gravitatori (principi d'equivalència). D'aquesta manera, si posem una persona dintre d'una caixa en mig de l'espai buit i li apliquen una acceleració la persona que es trobava flotant en mig de la capsa no sabrà si l'estan accelerant o algú ha «encès» un camp gravitatori.

Quan parlem de la creació de gravetat artificial estem parlant d'un fenomen d'aquest tipus. El problema que hi ha en voler crear gravetat amb una acceleració lineal (sempre en la mateixa direcció) es que es necessita una quantitat immensa d'energia, ja que el mòbil augmenta constantment la seva velocitat (i l'energia cinètica). Una manera més viable de crear la gravetat artificial seria fer-lo amb un sistema accelerat degut a un moviment circular uniforme. Figura 2.7: Gravetat artificial creada amb un sistema amb moviment circular uniforme.

(a) Per fer un moviment circular uniforme l'home rep una força centrípeta aplicada pel terra de la roda en forma de força de contacte i que apunta cap el centre de rotació. (b) Des del punt de vista de la persona que està en repòs respecte de la roda el sistema no està rotant i el que percep és que hi ha una força que el tira cap «avall» ( Fc) que s'anomena força centrífuga i que ha de ser compensada per una reacció igual i contrària produida pel terra, i que fa que la suma de forces sigui nul i, aleshores té una acceleració nul·la, la qual cosa explica el repòs observat des del sistema fix a la roda. La persona atribueix la força a un pes «artificial».

A la Figura 2.7 podem veure un sistema rotant que es pot fer servir per a generar gravetat artificial en una estació espacial. Per a un observador extern el sistema està rotant i sobre la persona hi ha aplicada la força centrípeta necessària per produir la rotació i que és produida pel terra que fa una força de contacte sobre la persona en direcció radial (a). En aquest cas és l'única força necessària per explicar el moviment.

Per a la persona que es mou juntament a la roda, ell es troba en repòs i la força que rep per part del terra cap a munt (força radial de contacte) no es deu a una força centrípeta perquè es troba en repòs, sinó a una reacció del terra a través d'una força de contacte radial que serveix per contrarestar a una força gravitatòria (artificial) i obtenir un sistema 32 Capítol 2. Camp gravitatori en equilibri on l'acceleració és nul·la. Aquest tipus de forces fictícies s'han d'afegir perquè les lleis de Newton siguin vàlides quan volem descriure un sistema des d'un marc de referència accelerat5.

Si volem crear un camp gravitatori igual al de la Terra i que els tripulants de l'estació espacial senti el seu pes igual que a la Terra, la velocitat de gir de l'estació ha de ser tal que la força centrípeta sobre el tripulant sigui igual al seu pes a la Terra: Fc = m v2 r = mg d'on es desprèn v = gr (2.13) La literatura i el…