Física de 2n Batxillerat: Guia d'Estudi

I 54 flashcards i 36 preguntes més al document.

Text del document

Fı́sica 2n Batxillerat Artur Arroyo i Pascual§ https://artur-sjo.github.io/index.html Col.legi Sant Josep Obrer C. Covadonga, s/n 08906 L'Hospitalet del Llobregat Darrera revisió 23/3/2023 Resum En aquest curs es presenten tot un seguit de temes nous que cor- responen a la culminació del currı́culum de Batxillerat. En qualsevol cas, cal tenir una bona fonamentació dels continguts relatius al curs anterior de 1r de Batxillerat. § aarroyo+batx@stjosep.org 1 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Índex 1 El moviment harmònic simple 6 1.1 Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Cinemàtica del moviment harmònic simple . . . . . . . . .

. . 6 1.2.1 Deducció de l'equació del moviment . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Velocitat en el moviment harmònic simple . . . . . . . 8 1.2.3 Acceleració en el moviment harmònic simple . . . . . . 9 1.2.4 Espai de fases per l'oscil.lador harmònic simple . . . . 9 1.2.5 Valors màxims i mı́nims de les quantitats cinemàtiques associades al MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Dinàmica del moviment harmònic simple . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Energia en el moviment harmònic simple . . . . . . . . . . . . 12 2 Ones 14 2.1 Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Tipus d'ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 2.2.1 Ones electromagnètiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Ones mecàniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 Ones transversals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.4 Ones longitudinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Equació d'una ona harmònica. Magnituds que caracteritzen una ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Diferència de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1 Velocitat i acceleració en ones transversals . . . . . . . 18 2.4.2 Velocitat de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Propagació de l'energia en el moviment ondulatori . . . . . . .

18 2.5.1 Front d'ona i raig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5.2 Potència i intensitat d'una ona . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Atenuació i absorció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.7 Lleis d'Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8 Interferències i difracció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.9 Ones estacionàries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.9.1 Corda lligada pels extrems. Tub obert pels dos extrems 26 2.9.2 Corda lligada per un extrem. Tub obert per un extrem 28 2.10 El so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.10.1 Qualitats del so . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 30 2.10.2 Efecte Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 3 Camp gravitatori 36 3.1 Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 El concepte de camp gravitatori. Potencial gravitatori . . . . . 36 3.3 Principi de superposició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 El moviment dels cossos celestes . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.1 Pes d'un cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.2 Energia cinètica, potencial gravitatòria i mecànica . . . 40 3.4.3 Òrbites circulars estables . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 3.4.4 Òrbites geoestacionàries . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.5 Canvis d'òrbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.6 Velocitat d'escapament . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4.7 Tipus d'òrbita segons l'energia total . . . . . . . . . . . 48 3.4.8 Caiguda lliure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Les lleis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Camp elèctric 52 4.1 Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 Camp elèctric creat per una càrrega puntual . . . . . . . . . . 52 4.3 Principi de superposició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 4.4 Potencial electrostàtic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4.1 Pous de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5 Energia potencial electrostàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.6 Energia de configuració d'un sistema de càrregues . . . . . . . 57 4.7 Camps elèctrics uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.8 Moviment de càrregues en condensadors . . . . . . . . . . . . 60 4.8.1 Moviment paral.lel al camp elèctric . . . . . . . . . . . 60 4.8.2 Moviment perpendicular al camp elèctric . . . . . . . . 61 5 Camp magnètic 63 5.1 Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 5.1.1 Comportament de la matèria davant el magnetisme . . 63 5.2 Llei de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Moviment de partı́cules carregades al sı́ d'un camp magnètic . 66 5.4 Aplicacions (I). El selector de velocitats . . . . . . . . . . . . . 69 5.5 Aplicacions (II). L'espectròmetre de masses . . . . . . . . . . 71 5.6 Efecte d'un camp magnètic sobre un fil de corrent . . . . . . . 72 5.7 Camp magnètic creat per càrregues i corrents . . . . . . . . . 73 5.7.1 Camp creat per una càrrega puntual en moviment . . . 73 5.7.2 Camp creat per un fil de corrent. Llei de Biot-Savart . 74 5.7.3 Camp creat per un fil infinit de corrent . . . . . . . . .

75 5.7.4 Camp creat per una espira circular . . . . . . . . . . . 76 3 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 5.8 Camp magnètic creat per agrupacions de corrents . . . . . . . 77 5.8.1 Camp magnètic creat per un solenoide . . . . . . . . . 77 5.8.2 Camp magnètic creat per un toroide . . . . . . . . . . 77 6 Inducció electromagnètica 78 6.1 Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.2 El flux magnètic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.3 Lleis de la inducció electromagnètica . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3.1 Llei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3.2 Llei de Faraday . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 83 6.3.3 L'experiència de Henry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.4 Aplicacions de la inducció electromagnètica . . . . . . . . . . . 85 6.4.1 Generadors elèctrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.4.2 Funcionament d'un transformador . . . . . . . . . . . . 87 7 Fı́sica quàntica 89 7.1 Els fets que no explica la fı́sica clàssica . . . . . . . . . . . . . 89 7.1.1 La radiació del cos negre . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.1.2 L'efecte fotoelèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.2 La mecànica quàntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.2.1 La dualitat ona-corpuscle . . . . . . . . . . . . . . . . .

98 7.2.2 El principi d'indeterminació de Heisenberg . . . . . . . 99 8 Fı́sica de partı́cules 102 8.1 Del començament fins avui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.1.1 El paradigma de la fı́sica antiga . . . . . . . . . . . . . 102 8.1.2 El paradigma de la fı́sica clàssica . . . . . . . . . . . . 103 8.1.3 El paradigma de la fı́sica moderna . . . . . . . . . . . . 104 8.1.4 El paradigma de la fı́sica actual . . . . . . . . . . . . . 105 8.2 Descobriment de partı́cules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.3 Les interaccions fonamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.4 Un zoo de partı́cules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.4.1 Els leptons .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.4.2 Els hadrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.5 El model de quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.5.1 Paritat i moment angular . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.5.2 L'octava via . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9 Fı́sica nuclear 117 9.1 Propietats dels nuclis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.1.1 Càrrega i massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 9.1.2 El tamany i l'estructura dels nuclis . . . . . . . . . . . 118 9.1.3 Energia d'enllaç nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . .

119 9.1.4 Corba d'estabilitat nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . 120 9.2 Radioactivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.2.1 Mecanismes de desintegració radioactiva . . . . . . . . 121 9.2.2 Desintegració alfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.2.3 Desintegració beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.2.4 Desintegració gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.3 Cinètica de la desintegració radioactiva . . . . . . . . . . . . . 123 9.4 Reaccions nuclears de fissió i fusió . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.4.1 Fissió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.4.2 Fusió . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 125 9.5 Aprofitament de l'energia nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.5.1 Aplicacions en industria . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.5.2 Aplicacions en medicina . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.5.3 Aplicacions en datació geològica . . . . . . . . . . . . . 126 5 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 1 El moviment harmònic simple 1.1 Introducció La importància del moviment harmònic simple (o MHS), rau en que és un dels pocs sistemes dinàmics a Fı́sica, no trivials, que es pot resoldre exacta- ment.

En cursos posteriors es fa ús d'aquesta caracterı́stica per aproximar el comportament de sistemes dinàmics més complexos al d'un oscil.lador i poder aixı́ obtenir solucions aproximades que poden suposar un punt de partida. 1.2 Cinemàtica del moviment harmònic simple 1.2.1 Deducció de l'equació del moviment Suposem que tenim un punt que descriu un moviment circular de radi A amb velocitat angular constant ω. Llavors, la projecció sobre un eix horitzontal en un instant qualsevol del temps val x = A cos φ on φ és l'angle que forma el radi vector que assenyala la posició del punt que es mou i l'eix horitzontal.

Com és φ = ωt, podem escriure x(t) = A cos ωt ω A φ x Podem presentar un resultat més general que permetrà fixar les condicions inicials, i tenim finalment, que l'equació de l'oscil.lador harmònic simple és x(t) = A cos(ωt + φ0) 6 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) on A s'anomena amplitud del moviment i es mesura en metres (m), ω s'ano- mena pulsació o freqüència angular, i es mesura en rad/s i φ0 és l'anomenada fase inicial, mesurada en rad. És important destacar que en la deducció anterior de l'equació de l'oscil- lador, el que segueix el moviment harmònic simple és la projecció del punt que es mou amb moviment circular sobre l'eix horitzontal.

Alternativament, podrı́em haver considerat la projecció sobre un eix vertical, d'aquesta manera l'equació es podria escriure en funció del sinus enlloc del cosinus. En qualsevol cas, aquest detall és irrellevant, ja que ambdues funcions estan relacionades per una fase de valor π/2. En tot el que seguirà a continuació en aquest tema, és fonamental recordar les relacions ω = 2πf i T = 1 f , on f (Hertz) és la freqüència i T (segons) el perı́ode del moviment. Exemple 1 Trobeu l'equació d'un oscil.lador que té una amplitud de 2 m, un perı́ode de 10 s i a l'instant inicial es troba en la posició d'equilibri (x = 0).

De l'enunciat sabem que A = 2 m, i com T = 10 s, tenim que ω = 2π T = 2π 10 = π 5 rad/s. Amb aquesta informació podem escriure x(t) = 2 cos π 5 t + φ0 Per una altra banda ha de ser x(0) = 0 de forma que tenim 0 = 2 cos(φ0) d'on cos(φ0) = 0 φ0 = π 2 llavors l'equació demanada és x(t) = 2 cos π 5 t + π 2 Notem que l'equació cos(φ0) = 0 té en realitat dues solucions, el valor principal π 2 i 3π 2 , amb les condicions inicials donades no podem fixar de forma única el valor de φ0. Sovint aquest serà el cas i prendrem el valor principal com a solució. El valor principal del sinus és l'angle α tal que π 2 α π 2 i el del cosinus, l'angle α tal que 0 α π 7 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 1.2.2 Velocitat en el moviment harmònic simple L'equació de la velocitat es pot obtenir a partir de la relació v(t) = ẋ(t) = dx(t) dt de forma que tenim v(t) = Aω sin(ωt + φ0) Exemple 2 Trobeu l'equació d'un oscil.lador harmònic simple sabent que la seva amplitud és de 10 metres, la seva pulsació val π rad/s i per t = 0 la seva elongació val x = 5 m i s'està movent cap a la dreta.

De les dades de l'enunciat es pot escriure x(t) = 10 cos(πt + φ0) imposant condicions inicials 5 = 10 cos φ0 d'on φ0 = arccos 1 2 = π 3 rad com a valor principal, però també és solució de l'equació anterior φ0 = 5π 3 rad a diferència de l'exemple 1, ara podem triar entre aquestes dues solucions. L'equació de la velocitat és v(t) = 10π sin(πt + φ0) i per t = 0 v(0) = 10π sin(φ0) Resultat que només és positiu si φ0 = 5π 3 rad. 8 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 1.2.3 Acceleració en el moviment harmònic simple A partir de la definició d'acceleració a(t) = v̇(t) = dv(t) dt = ẍ(t) = d2 x(t) dt2 tenim a(t) = Aω2 cos(ωt + φ0) = ω2 x(t) Exemple 3 El moviment d'un determinat objecte obeeix l'equació ẍ + 169x = 0 Es demana mostrar que es tracta d'un oscil.lador harmònic simple i calcular el perı́ode del moviment.

L'equació es pot escriure com a + 169x = 0 a = 169x a = 132 x que és clarament l'equació que relaciona l'acceleració i l'elongació d'un os- cil.lador harmònic simple de freqüència ω = 13 rad/s i per tant, amb perı́ode T = 2π ω = 2π 13 s 1.2.4 Espai de fases per l'oscil.lador harmònic simple L'espai de fases d'un sistema dinàmic és una eina molt útil que relaciona la posició d'un objecte o partı́cula amb el seu moment lineal, en general o amb la seva velocitat, en particular.

La relació entre l'elongació i la velocitat d'un oscil.lador harmònic simple es pot trobar de la següent manera, partint de les equacions de l'elongació i la velocitat i ignorant les dependències temporals per no sobrecarregar la notació x = A cos(ωt + φ0) v = Aω sin(ωt + φ0) x A = cos(ωt + φ0) v Aω = sin(ωt + φ0) 9 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) elevem al quadrat x A 2 = cos2 (ωt + φ0) v Aω 2 = sin2 (ωt + φ0) d'on x2 A2 + v2 (Aω)2 = 1 que és l'equació d'una el.lipse de semieixos A i Aω a l'espai de fases.

Exemple 4 Trobeu, en funció de A, ω la velocitat d'un oscil.lador harmònic sim- ple quan la seva elongació val x = A/2 i es troba movent-se cap a l'esquerra. A partir de x2 A2 + v2 (Aω)2 = 1 tenim A 2 2 A2 + v2 (Aω)2 = 1 d'on simplificant Z Z A2 4 Z Z A2 + v2 (Aω)2 = 1 1 4 + v2 (Aω)2 = 1 v2 (Aω)2 = 1 1 4 v = ± 3 2 Aω tenint en compte les condicions de l'enunciat, ens hem de quedar amb la solució negativa.

1.2.5 Valors màxims i mı́nims de les quantitats cinemàtiques as- sociades al MHS Els valors màxims de l'elongació, velocitat i acceleració al MHS es troben molt fàcilment, ja que tant el sinus com el cosinus són funcions acotades, és a dir 1 sin α 1 1 cos α 1, α 10 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) L'elongació màxima xmax = ±A es dona als extrems del moviment. La mı́nima, xmin = 0 al punt d'equilibri. La velocitat màxima vmax = ±Aω és dona al punt d'equilibri mentre que la mı́nima vmin = 0 es dona als extrems del moviment.

L'acceleració màxima es dona quan l'elongació és màxima, i val amax = ±Aω2 i la mı́nima es dona al punt d'equilibri, i val amin = 0 Exemple 5 Trobeu la distància total recorreguda per un oscil.lador harmònic sim- ple d'amplitud A al llarg d'un perı́ode. Si suposem que l'ocil.lador comença a l'esquerra de tot, és a dir a x = A, ha de recórrer una distància 2A per arribar a l'altre extrem del moviment, a x = A i després tornar a la posició inicial per completar un perı́ode, de forma que en total ha recorregut una distància 4A. Exemple 6 L'agulla d'una màquina de cosir oscil.la entre dos punts separats una distància vertical de 20 mm.

Suposant que descriu un moviment harmònic simple de freqüència 30 Hz, quina és la seva acceleració màxima? Com el recorregut complet és de 20 mm, deduı̈m que l'amplitud val A = 10 mm. Llavors, a partir de amax = ±Aω2 i recordant que ω = 2πf, podem escriure amax = ±Aω2 = ±10 · 10 3 (2π · 30)2 = ±355, 3 · 10 2 m/s2 1.3 Dinàmica del moviment harmònic simple Un exemple de MHS és el d'un objecte de massa m lligat a una molla de constant elàstica k. Recordem que la llei de Hooke relaciona la força que fa la molla amb l'elongació segons F = kx aplicant la segona llei de Newton i recordant que a = ω2 x, podem escriure F = ma kx = mω2 x 11 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) d'on es pot deduı̈r ω = r k m Amb un raonament semblant es pot provar que per un pèndol de longitud l en un lloc on la gravetat val g es té ω = r g l T = 2π s l g Exemple 7 Trobeu la constant elàstica d'una molla sabent que quan se li acobla una massa de 1, 00 kg i es fa oscil.lar, ho fa amb pulsació ω = 2π rad/s A partir de ω = r k m k = mω2 és fàcil calcular k = 1 · 2π = 2π = 6, 28 N/m 1.4 Energia en el moviment harmònic simple En el cas d'un objecte de massa m unit a una molla de constant elàstica k tenim per l'energia cinètica Ec = 1 2 mv2 i per l'energia potencial elàstica Ep = 1 2 kx2 L'energia total d'aquest sistema serà E = Ec + Ep el valor de l'energia total es pot deduir fàcilment, ja que per exemple, al punt d'equilibri, l'energia potencial elàstica val zero, mentre que la cinètica és màxima i val Ecmax = 1 2 m(Aω)2 12 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) de forma que tenim 1 2 mv2 + 1 2 kx2 = 1 2 m(Aω)2 alternativament podem veure que als extrems la velocitat és zero i l'energia potencial elàstica és màxima, de forma que podem escriure 1 2 mv2 + 1 2 kx2 = 1 2 kA2 Exemple 8 L'amplitud en un moviment harmònic simple originat per una molla de constant recuperadora k = 500 N/m és de 40, 0 cm. Quina serà l'energia total de l'oscil.lador? Quant val la seva energia cinètica a l'instant en què l'elongació és de 30, 0 cm?

Podem expressar l'energia total en funció de la potencial elàstica com 1 2 mv2 + 1 2 kx2 = 1 2 kA2 de forma que tenim Ec + Epel = 1 2 kA2 i llavors, quan x = 30 cm Ec = 1 2 kA2 1 2 kx2 = 1 2 k(A + x)(A x) = 1 2 500(0, 700)(0, 100) = 17, 5 J 13 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 2 Ones 2.1 Introducció La principal caracterı́stica de les ones és que engloben fenòmens en els que hi ha transport d'energia i quantitat de moviment però no de matèria. Si prenem una corda per un extrem i la sacsegem, es formaran pertorbacions que arribaran a l'altre extrem de la corda i poden ser percebudes per una altra persona que estigui en contacte amb aquest extrem lliure.

La corda no es trasllada, només està vibrant amunt i avall, però és clar que alguna cosa es transmet al llarg d'ella. 2.2 Tipus d'ones 2.2.1 Ones electromagnètiques No necessiten cap medi material per a propagar-se. En el buit ho fan a la velocitat de la llum c = 3 · 108 m/s. La descripció clàssica considera aquestes ones formades per un camp elèctric i un camp magnètic que oscil- len perpendicularment.

Només el camp elèctric condiciona les propietats òptiques en la interacció entre ones electromagnètiques i la matèria, amb " Emax" " Bmax" = c Per una altra banda, la teoria quàntica (que tractarem de forma molt intro- ductòria al Tema 8) considera que les ones electromagnètiques, i en particular la llum, es troben "empaquetades"en partı́cules anomenades fotons amb ener- gia E = hν on h = 6, 626 · 10 34 Js és la constant de Planck, i ν ( f), la freqüència. En tot aquest capı́tol estudiarem les ones segons la teoria clàssica. 2.2.2 Ones mecàniques Necessiten un medi material per a propagar-se.

La seva velocitat de propa- gació depèn de les caracterı́stiques fı́siques del medi, i en general, disminueix amb la densitat d'aquest però per altra banda, és proporcional al grau de cohesió de les molècules del medi. Un exemple d'ona mecànica és el so, que més endavant tractarem amb més detall. 2.2.3 Ones transversals La direcció de la vibració és perpendicular a la direcció de propagació. Per exemple, les ones electromagnètiques que hem vist abans, ones estacionàries 14 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) en una corda de guitarra, etc. 2.2.4 Ones longitudinals La direcció de propagació i vibració és la mateixa.

Per exemple si estirem una molla sobre una superfı́cie horitzontal i li donem un impuls en un extrem, observarem que la pertorbació es trasllada al llarg de la molla fins arribar a l'altre extrem. Si aquest extrem es troba lligat en algun suport que pugui proporcionar prou quantitat de moviment, veurem com la pertorbació es reflecteix i torna al llarg de la molla. Un altre exemple d'ona longitudinal és el so, que consisteix en variacions periòdiques de la pressió de l'aire. 2.3 Equació d'una ona harmònica.

Magnituds que ca- racteritzen una ona L'equació d'una ona harmònica transversal unidimensional que es desplaça cap a la dreta es pot escriure com y(x, t) = A sin(kx wt + φ0) on A és l'amplitud de l'ona (en metres), k = 2π/λ és el nombre d'ona (en rad/m), λ la longitud d'ona o mı́nima distància entre dos punts que es troben al mateix estat de vibració (en metres) i φ0 la fase inicial (en radians), que es fixa amb les condicions inicials. És habitual considerar per simplicitat φ0 = 0 i aixı́ ho farem sovint en aquests apunts. Noteu que, fent servir relacions conegudes, podem escriure l'equació y(x, t) = A sin 2π x λ t T ja que ω = 2πf = 2π/T i k = 2π/λ.

També podem trobar escrita l'equació de l'ona com y(x, t) = A sin(wt kx + φ0) 15 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) aquesta equació també descriu una ona que es mou cap a la dreta. En el cas que la situació requereixi que ho faci cap a l'esquerra haurı́em d'escriure y(x, t) = A sin(kx + wt + φ0) = A sin(wt + kx + φ0) o fins i tot, d'una manera una mica artificial y(x, t) = A sin( kx wt + φ0) = A sin( wt kx + φ0) És a dir, sempre que kx, ωt tinguin diferent signe, l'ona es mou cap a la dreta, si tenen el mateix signe llavors l'ona es mou cap a l'esquerra.

A banda de totes aquestes consideracions és evident que també es pot escriure l'equació d'ona fent servir cosinus enlloc de sinus, ja que la diferència entre aquestes dues funcions és només una fase de π/2. Exemple 1 L'equació d'una ona harmònica és y(x, t) = 15 sin π(3x 10t) es demana trobar: amplitud, longitud d'ona i perı́ode. Si reescrivim l'equació y(x, t) = 15 sin 2π 3x 2 10t 2 = 15 sin 2π x 2 3 t 2 10 de forma que es poden identificar directament A = 15 m λ = 2 3 m T = 2 10 = 0, 2 s .

Alternativament podrı́em haver fet, a partir de l'equació proporcionada y(x, t) = 15 sin π(3x 10t) = 15 sin(3πx 10πt) d'on s'obté directament A = 15 m, k = 3π rad/m i ω = 10π rad/s i indirec- tament, els valors trobats anteriorment de λ i T. 16 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 2.4 Diferència de fase Anomenarem fase, φ a l'expressió kx ωt + φ0.

En general, la diferència de fase φ entre dos punts x1, x2 i dos temps t1, t2 es calcula com φ = φ2 φ1 = kx2 ωt2 +Z Z φ0 (kx1 ωt1 +Z Z φ0) = k(x2 x1) ω(t2 t1) De manera que si volem calcular φ entre dos punts diferents en el mateix instant del temps tindrem φ = k(x2 x1) ω(A t1 A t1) = k(x2 x1) de forma que, en particular, si els punts estan separats un nombre n enter de longituds d'ona, direm que es troben en fase, ja que φ = k(x2 x1) = knλ = 2π S S λ nS S λ = 2πn i si ho estan un nombre semisenar de longituds d'ona, 2n+1 2 direm que es troben en oposició de fase, ja que φ = k(x2 x1) = k 2n + 1 2 λ = A 2π S S λ 2n + 1 A 2 S S λ = (2n + 1)π Un raonament semblant permet discutir els casos en que volem calcular φ per un punt determinat en dos instants de temps diferents, quan aquests corresponen a múltiples enters o semisenars del perı́ode T de l'ona.

Exemple 2 L'equació d'una ona harmònica és y(x, t) = 10 sin 2π x 4 t 20 es demana trobar la diferència de fase entre dos punts separats 2 m en el mateix instant del temps. Com que és λ = 4 m, per punts separats 2 m és trivial veure que la diferència de fase és π, és a dir es troben en oposició de fase. Amb més detall φ = k(x2 x1) = 2π 4 · (2) = π rad 17 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Exemple 3 A partir de l'equació d'ona de l'exemple anterior, trobeu la diferència de fase entre dos punts separats 3, 5 m en el mateix instant del temps.

Fent servir un resultat obtingut anteriorment, φ = k(x2 x1) = 2π 4 · 3, 5 = 7π 4 = 315 2.4.1 Velocitat i acceleració en ones transversals A partir de l'equació d'una ona transversal y(x, t) = A sin(kx wt + φ0) es pot escriure la de la velocitat dels seus punts vy = y(x, t) t = Aω cos(kx wt + φ0) i la de l'acceleració com ay = 2 y(x, t) t2 = vy(x, t) t = Aω2 sin(kx wt + φ0) = ω2 y(x, t) 2.4.2 Velocitat de fase En les ones harmòniques, anomenem la velocitat de fase o de grup, v a la velocitat amb que es desplaça l'ona, que no és la mateixa que la velocitat amb que vibra cada punt, material o no, de l'ona.

λ = vT també pot ser útil el resultat ω = vk 2.5 Propagació de l'energia en el moviment ondulatori 2.5.1 Front d'ona i raig Anomenem front d'ona el lloc geomètric dels punts de l'espai que estan en el mateix estat de vibració. Els raigs són lı́nies vectorials perpendiculars als fronts d'ona i apunten en el sentit en què avança la pertorbació. El sı́mbol t denota la derivada parcial respecte el temps, que aquı́ cal especificar ja que y(x, t) és una funció de dues variables. 18 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) En una ona unidimensional (una corda vibrant, per exemple) el front d'ona és un punt, mentre que a una ona bidimensional (pertorbació en un estany al llençar una pedra, per exemple), el front d'ona és una corba (un cercle), i en una ona tridimensional (ona de xoc que es propaga en una explosió), el front d'ona és una superfı́cie (una esfera). 2.5.2 Potència i intensitat d'una ona Anomenem potència d'una ona a l'energia que transporta per unitat de temps. En el SI, la potència es mesura en watt (W). Recordem que 1 W = 1 J/s.

Definim intensitat d'una ona (I) com la potència per unitat de la magnitud que defineix el front d'ona (punt, corba, superfı́cie). I = P Ld on d és la dimensió del front d'ona. Segons aquesta definició, i suposant que la potència es manté al llarg de la propagació (no hi ha pèrdues d'energia) tenim 1. Ones unidimensionals I = P L0 = P 1 = P llavors per dos punts 1 i 2 diferents P1 = P2 I1 = I2 2. Ones bidimensionals I = P L1 = P L P = IL = I · 2πR de forma que per dos punts 1 i 2 diferents P1 = P2 I1 H H 2πR1 = I2 H H 2πR2 I1R1 = I2R2 19 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 3.

Ones tridimensionals I = P L2 = P S P = IS = I · 4πR2 per dos punts 1 i 2 diferents P1 = P2 I1 H H 4πR2 1 = I2 H H 4πR2 2 I1R2 1 = I2R2 2 Per una altra banda, es pot comprovar que per qualsevol dels tres tipus d'ona es compleix que la intensitat és proporcional al quadrat de l'amplitud I A2 de forma que podem afegir les relacions I1 = I2 A2 1 = A2 2 A1 = A2 per ones unidimensionals, i I1 I2 = R2 R1 A2 1 A2 2 = R2 R1 A1 A2 = r R2 R1 per ones bidimensionals. Finalment, per ones tridimensionals tenim I1 I2 = R2 2 R2 1 A2 1 A2 2 = R2 2 R2 1 A1 A2 = R2 R1 Exemple 4 Una font sonora emet un so tal que a 1 m de l'emissor la intensitat és I1 = 104 W/m2 .

A quina distància de la font aquesta intensitat s'haurà reduı̈t fins a I2 = 10 12 W/m2 ? Tenim I1 I2 = R2 2 R2 1 llavors R2 = R1 r I1 I2 = 1 · r 104 10 12 = 108 m 20 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 2.6 Atenuació i absorció Com a conclusió fonamental del final de l'apartat anterior podem veure que en les ones bidimensionals i tridimensionals es produeix una disminució de l'amplitud de la pertorbació a mesura que el front d'ona s'allunya del focus. Aquest fenomen s'anomena atenuació. A banda, quan les ones travessen un medi es produeix una pèrdua d'energia que fa disminuir encara més la seva intensitat, ho anomenem absorció.

L'absorció depèn de les caracterı́stiques del medi i de la freqüència de l'ona. Es pot demostrar la relació I = I0 · e βx on I0 és la intensitat que té l'ona abans d'entrar al medi, β l'anomenat coefici- ent d'absorció del medi, i x la distància recorregida dins el medi. Anomenem gruix de semiabsorció a la distància que ha de recórrer l'ona per tal que la intensitat es redueixi a la meitat D1/2 = ln 2 β 2.7 Lleis d'Snell Diem que hi ha reflexió quan una ona arriba a la superfı́cie que separa dos medis diferents i es desvia avançant pel medi original. La refracció es pro- dueix quan una ona arriba a la superfı́cie que separa dos medis diferents i avança pel segon medi.

En cadascun dels medis l'ona es mou amb velocitat diferent i canvia la direcció de propagació. És important constatar que la freqüència de l'ona no varia. Les lleis d'Snell ens diuen com es comporta una ona al arribar a la in- terfı́cie de separació de dos medis diferents. El curs passat es va tractar aquest tema en el context de les ones electromagnètiques, en particular per la llum. Aquest any, hem de parlar d'ones en general, i això fa que no podem fer servir l'ı́ndex de refracció, ja que aquest es definia només per aquell tipus d'ones. Sigui doncs una ona que incideix sobre la interfı́cie de dos medis diferents.

Si per les velocitats de propagació en cada medi suposem v1 > v2 21 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) v1 v2 θ1 θ 1 θ2 En qualsevol cas, segueixen sent vàlides les següents lleis: El raig incident, el reflectit i la normal estan continguts al mateix pla. L'angle que forma el raig incident (θ1) amb la normal és igual al que forma el raig reflectit (θ 1) amb la normal. El raig incident, el refractat i la normal estan continguts en el mateix pla. Quant el raig incident es propaga a més velocitat que el refractat, l'angle d'incidència θ1 és més gran que l'angle de refracció θ2, en altres paraules, el raig refractat s'acosta a la normal.

Tenim que sin θ1 v1 = sin θ2 v2 És important establir que, quan una ona travessa la interfı́cie de separació de dos medis, la freqüència no varia, i com la velocitat (en principi) sı́ ho fa, llavors es conclou que la longitud d'ona també varia. 22 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Exemple 5 La velocitat del so en l'aire és d'uns 340 m/s mentre que en aigua, és de 1600 m/s aproximadament. Si una ona sonora incideix sobre la superfı́cie d'un estany des de dins de l'aigua amb un angle de 45 , amb quin angle es refractarà un cop surti de l'aigua?

A partir de sin θ1 v1 = sin θ2 v2 tenim sin θ2 = v2 sin θ1 v1 = 340 · sin 45 1600 = 0, 15 d'on θ2 = arcsin 0, 15 = 8, 64 és a dir que el raig surt pràcticament vertical (fregant la normal a la su- perfı́cie). 2.8 Interferències i difracció Farem un estudi molt qualitatiu dels fenòmens de interferències i difracció d'ones. En quant a les interferències, ens interessa conèixer el que succeeix quan en un punt determinat es troben dues ones harmòniques. Per simplicitat suposarem que aquestes ones tenen la mateixa amplitud i freqüència.

Con- siderem doncs que un punt P rep la interferència de dues ones originades en punts S1 i S2, tots dos a una distància x1 i x2 de P, respectivament. Llavors, anomenant x2 x1 la diferència de camı́, tindrem interferència constructiva quan x2 x1 = nλ i interferència destructiva quan x2 x1 = (2n + 1) λ 2 Exemple 6 Sobre una taula tenim dos altaveus separats 3 m que generen un so pur de freqüència f = 170 Hz. Si ens situem davant d'un d'ells a una distància de 4 m observem una interferència. Es demana decidir si és constructiva o destructiva suposant que la velocitat del so és 340 m/s. 23 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 3 m 4 m 42 + 32 = 25 = 5 m Per una banda la diferència de camı́ val 5 4 = 1 m i la longitud d'ona λ = v f = 340 170 = 2 m com que la diferència de camı́ val la meitat de la longitud d'ona es produirà una interferència destructiva. Llavors, en principi, al punt considerat no s'hauria de sentir res, al marge del volum inicial dels altaveus. la difracció és un fenomen que pateixen les ones, consistent en que quan una ona passa per una escletxa, aquesta es comporta com un emissor puntual. El fenomen de difracció és màxim quan el tamany de l'escletxa és de l'ordre de magnitud de la longitud d'ona.

No tindrem ocasió de tractar exercicis numèrics sobre aquest fenomen. 2.9 Ones estacionàries Per l'estudi de les ones estacionàries suposarem que resulten de la superpo- sició de dues ones idèntiques que es propaguen en el mateix medi en sentits oposats. 24 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Llavors la seva suma y = A sin(kx + ωt) + A sin(kx ωt) es pot reescriure fent ús de la relació trigonomètrica sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α β 2 per obtenir y = 2A sin(kx) cos(ωt) n n n n v v v El terme 2A sin(kx) s'anomena amplitud efectiva, ja que en les ones estaci- onàries l'amplitud depèn de la posició, no només del temps.

Els punts pels que l'amplitud val zero per qualsevol temps s'anomenen nodes. Els punts que assoleixen l'amplitud màxima de l'ona estacionària (±2A) s'anomenen ventres. Per localitzar els nodes demanem 2A sin(kx) = 0 d'on kx = nπ 2Z π λ x = nZ π x = n λ 2 Per localitzar els ventres, ha de ser sin(kx) = ±1 25 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) d'on kx = (2n + 1) π 2 2Z π λ x = (2n + 1) Z π 2 x = (2n + 1) λ 4 En quant a la velocitat de fase de les ones estacionàries, l'expressió λ = vT segueix sent vàlida, però ara cal tenir present que la aquesta velocitat depèn de paràmetres fı́sics del suport de l'ona i per tant, és constant.

Llavors, al canviar la longitud d'ona, la freqüència canvia d'acord amb el la fórmula an- terior. Noteu el contrast amb la situació que tenı́em quan una ona travessava la interfı́cie de dos medis diferents. Exemple 7 L'equació d'una ona estacionària és y(x, t) = 6 cos π 2 x sin(100πt) es demana trobar: amplitud de les ones components, longitud d'ona i perı́ode. L'amplitud de les ones components és A = 3 m. Com és k = π/2 rad/m es dedueix que λ = 4 m i finalment, com és ω = 100π rad/s es veu que T = 0, 02 s. 2.9.1 Corda lligada pels extrems. Tub obert pels dos extrems Els dos casos són semblants.

La condició perquè es formi una ona estacionària és que en la longitud (de la corda o el tub) hi hagi un nombre semienter de longituds d'ona. L = n λ 2 de forma que les diferents longituds d'ona que es poden donar són λ = 2L n n = 1, 2, 3 . . . Expressió que genera els diferents harmònics. Per n = 1, l'harmònic corres- ponent rep el nom de fonamental. 26 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) n v n n v n v n n v n v n v n v n v v n v n v v n v n v n v n = 1 n = 2 n = 3 Podem trobar les freqüències generades pels diferents harmònics fent ser- vir la relació λ = v f aixı́ fn = v λ = v 2L n = n · v 2L n = 1, 2, 3 . . .

La relació entre les freqüències dels diferents harmònics generats és f1 = v 2L f2 = 2 · v 2L = 2f1 f3 = 3 · v 2L = 3f1 . . . noteu que en aquests casos, a partir d'una freqüència fonamental determi- nada, es poden generar tots els harmònics corresponents als seus múltiples. A la secció següent veurem que en el cas de cordes lligades per un extrem o tubs semi-oberts això no és possible, i no podrem obtenir els harmònics parells, múltiples d'una freqüència fonamental. 27 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Exemple 8 Una corda de longitud 2 m lligada pels extrems vibra en el segon harmònic amb una freqüència f = 440 Hz.

Es demana calcular amb quina freqüència vibra el tercer harmònic i la velocitat de les ones estacionàries en aquesta corda. Com que el segon harmònic omple amb una longitud d'ona la separació entre els punts de suport de la corda vibrant, podem deduir que λ = 2 m. Ara, fent servir les dades de l'enunciat λ = vT = v/f v = λf = 2 · 440 = 880 m/s El tercer harmònic omple la separació entre extrems amb una longitud d'ona i mitja (d'on λ = 2L/3 = 4/3), i com la velocitat és la mateixa per tots els harmònics, la nova freqüència serà f = v/λ = 880 4/3 = 660 Hz 2.9.2 Corda lligada per un extrem.

Tub obert per un extrem Els dos casos són semblants, ara la condició sobre la longitud (del tub o corda) per tal que s'estableixin ones estacionàries és L = (2n 1) λ 4 d'on les longituds d'ona possibles són λn = 4L 2n 1 n = 1, 2, 3 . . . Les freqüències corresponents que es poden obtenir són fn = v λn = v 4L 2n 1 = (2n 1) v 4L n = 1, 2, 3 . . . i tenim, pels primers harmònics f1 = v 4L f2 = 3 · v 4L = 3f1 f3 = 5 · v 4L = 5f1 . . . tal com hem comentat abans, en aquests casos no s'obtenen els harmònics múltiples parells de la freqüència fonamental. 28 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) n v n v n v n v n v n v v n v n n v v n n v n v n = 1 n = 2 n = 3 Noteu que en el cas dels tubs, al costat tancat hi ha suport material perquè s'estableixi un node, mentre que a l'altre extrem obert hi tenim un ventre. Exemple 9 Calculeu la freqüència que tindrà l'aire vibrant en el segon harmònic en un tub semiobert de 3 metres de longitud. Podeu considerar que la velocitat del so és de 340 m/s. En un tub semiobert, el segon harmònic (que correspon al tercer de la sèrie natural) omple el tub amb 3 4 λ, de forma que serà 3 4 λ = L 3 4 λ = 3 λ = 4 m i f = v λ = 85 Hz 29 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 2.10 El so El so és una pertorbació que apareix quan es fan vibrar les partı́cules d'un medi elàstic de manera que s'hi produeixen variacions en la densitat o en la pressió i es propaga a través del medi en forma d'ones. El so és una ona mecànica longitudinal de caràcter tridimensional. 2.10.1 Qualitats del so El to és la qualitat del so que permet distingir els sons aguts dels greus. Està relacionat amb la freqüència de l'ona sonora: els sons aguts corresponen a freqüències altes i els sons greus, a baixes.

El timbre és la qualitat del so que permet distingir sons de la mateixa freqüència i amplitud produı̈ts per instruments musicals diferents. La intensitat és la qualitat del so que permet identificar-lo com fort o feble. Està relacionada amb l'amplitud de l'ona: els sons forts es corresponen amb amplituds elevades i els febles, amb baixes. La resposta de l'oı̈da humana a la intensitat sonora és logarı́tmica, és a dir, per percebre un so el doble de fort, la seva intensitat s'ha de multiplicar per deu.

Aquesta caracterı́stica es fa servir per definir una magnitud anomenada nivell d'intensitat sonora o sonoritat d'un so: β = 10 log I I0 que es mesura en decibels (dB) i on I0 = 10 12 W/m2 és l'anomenada inten- sitat llindar. Exemple 10 Suposant que una persona cridant pot arribar a produir una sonoritat de 70 dB, calculeu la sonoritat d'un conjunt de 100 000 persones cridant en un estadi de futbol. Per una sola persona podem escriure 70 = 10 log I I0 si anomenem I = 105 I la intensitat del conjunt de l'estadi cridant, tenim β = 10 log I I0 = 10 log 105 I I0 = 10 log 105 + 10 log I I0 = 50 + 70 = 120 dB 30 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Exemple 11 S'ha mesurat el nivell d'intensitat sonora a 2 m d'un petard que explota i s'han obtingut 120 dB, quin nivell d'intensitat sonora es mesurarà a 100 m? A partir de la informació de l'enunciat podem escriure 120 = β1 = 10 log I1 I0 si suposem que el so és una ona tridimensional tenim que I1R2 1 = I2R2 2 expressió que relaciona les intensitats (no el nivell d'intensitat sonora) de l'ona en punts a distàncies diferents. Recordem que aquest fenomen s'ano- mena atenuació i no té a veure amb possibles pèrdues d'energia si no amb la forma de propagació en sı́.

Llavors, a 200 m tindrem β2 = 10 log I2 I0 = 10 log I1R2 1 R2 2 I0 = 10 log I1 I0 R2 1 R2 2 = 10 log I1 I0 + log R2 1 R2 2 = 10 " log I1 I0 + log R1 R2 2 # = 10 log I1 I0 + 2 log R1 R2 = 10 log I1 I0 + 10 · 2 log R1 R2 = 120 + 10 · 2 log 2 100 = 86, 02 dB 2.10.2 Efecte Doppler Anomenem efecte Doppler el canvi que en la freqüència observada per un receptor com a conseqüència del moviment de l'emissor, el receptor o tots dos. Podem resumir la casuı́stica amb la següent fórmula (suposem que la velocitat de l'ona en el medi és v, la freqüència de l'emissor és fe i la freqüència 31 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) observada pel receptor és fr) fr = fe v±vr v±ve Si el receptor s'acosta o allunya o l'emissor s'allunya o acosta amb velocitats vr, ve respectivament. Exemple 12 Un pastisser (que es pot moure endavant i endarrere amb velocitat ve), va fabricant pastissets que va posant amb freqüència fe sobre una cinta transportadora que es mou amb velocitat vc. A l'altre extrem de la cinta, una persona (que es pot moure endavant i endarrere amb velocitat vr), es va menjant tots els pastissets que li arriben. Trobeu la freqüència fr amb que aquesta darrera persona es menja els pastissos en funció dels paràmetres del problema.

Suposeu en tots els casos "ve", "vr" < vc Considerem els diferents casos possibles. Adoptem el següent conveni: la velocitat és positiva si va dirigida cap a la dreta i negativa cap a l'esquerra. a) ve = vr = 0 vc λ e ve = 0 fe r vr = 0 fr El pastisser (emissor) va posant pastissos amb freqüència fe. Al moure's la cinta queden disposats amb una separació determinada. Aquesta separació (que anomenarem longitud d'ona), que veurà ell (i el que se'ls menja) val λ = vc fe i la freqüència que veu el receptor val fr = vc λ = vc vc fe = Z Z vcfe Z Z vc = fe 32 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) b) ve > 0, vr = 0 vc λ< e ve > 0 fe r vr = 0 fr El pastisser va posant pastissos amb freqüència fe. Ara la longitud d'ona que veuen els dos és més petita que abans, ja que el pastisser es va avançant. Si es mogués amb una velocitat ve = vc, els pastissos quedarien amuntegats un sobre l'altre. Tenim doncs λ< = vc ve fe La freqüència que veu el receptor val fr = vc λ< = vc vc ve fe = vcfe vc ve com és sempre vc vc ve > 1 la freqüència observada és més gran que l'emesa. c) ve = 0, vr < 0 vc λ e ve = 0 fe r vr < 0 fr 33 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) El pastisser va posant pastissos amb freqüència fe.

La longitud d'ona que veuen els dos és la mateixa. De tota manera, el receptor s'acosta als pastissos amb una velocitat més gran que amb la que la cinta els trasllada. Tenim doncs, per l'emissor λ = vc fe La freqüència que veu el receptor val fr = vc + vr λ = vc + vr vc fe = (vc + vr)fe vc i com és sempre vc + vr vc > 1 es conclou que la freqüència observada és més gran que l'emesa. Noteu però, que tot i que en el cas anterior la freqüència observada era també més gran, en els dos casos ho és de forma essencialment diferent. d) ve < 0, vr = 0 vc λ> e ve < 0 fe r vr = 0 fr El pastisser va posant pastissos amb freqüència fe.

Ara la longitud d'ona que veuen els dos és més gran que abans, ja que el pastisser es mou en sentit contrari. Tenim doncs λ> = vc + ve fe La freqüència que veu el receptor val fr = vc λ> = vc vc+ve fe = vcfe vc + ve com és sempre vc vc + ve < 1 34 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) la freqüència observada és més petita que l'emesa. e) ve = 0, vr > 0 vc λ e ve = 0 fe r vr > 0 fr El pastisser va posant pastissos amb freqüència fe. La longitud d'ona que veuen els dos és la mateixa.

Tenim doncs, per l'emissor λ = vc fe La freqüència que veu el receptor val fr = vc vr λ = vc vr vc fe = (vc vr)fe vc com és sempre vc vr vc < 1 la freqüència observada és més petita que l'emesa. Noteu però, que tot i que en el cas anterior la freqüència observada era també més petita, en els dos casos ho és de forma essencialment diferent. Els dos casos no trivials que queden per discutir ve < 0, vr > 0 i ve > 0, vr < 0 es poden analitzar de forma semblant i es deixa com a exercici per el lector trobar les corresponents relacions entre fe i fr en tots dos casos. 35 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 3 Camp gravitatori 3.1 Introducció La coneguda anècdota que va protagonitzar Newton amb la poma va servir perquè s'adonés de quelcom que potser a nosaltres ens sembla trivial, però que llavors ningú havia pensat, que la força que governa la dinàmica de l'univers i la que atrau els objectes cap al centre de la Terra són la mateixa. Aixı́, Newton va escriure la que es coneix com llei de gravitació universal F = G Mm r2 que descriu com calcular la força amb que s'atrauen dos objectes de masses M i m separats una distància r. La constant G = 6, 67 · 10 11 Nm2 /kg2 es coneix com a constant de gravitació universal.

3.2 El concepte de camp gravitatori. Potencial gravi- tatori L'expressió de l'apartat anterior presenta un problema conceptual que és l'anomenada acció a distància, ja que se suposa que la força apareix de forma instantània entre dues masses independentment de la distància que les separa. Per tal de superar aquest detall incòmode, es va proposar descriure el concepte de camp, com una condició que crea un objecte, pel sol fet de tenir massa, al seu voltant i que després afecta a altres objectes fent que aparegui una força entre ells.

D'aquesta manera, el camp gravitatori que crea un objecte de massa M al seu voltant a una distància r es calcula com g = G M r3 r = G M r2 · r r = G M r2 r̂ amb mòdul " g" = G M r2 i la força amb que s'atrauran M i una altra massa m situades a distància r val F = m g = G Mm r3 r amb mòdul F = " F" = mg = G Mm r2 36 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Per una altra banda, definim el potencial gravitatori que crea un objecte de massa M a una distància r d'ell com V = G M r on hem suposat que el potencial gravitatori val zero a l'infinit.

3.3 Principi de superposició Si tenim n masses situades en punts diferents, llavors el camp total que creen sobre un determinat punt el calcularem com la suma vectorial dels camps gravitatoris individuals, és a dir gtotal = n X i=1 gi Cal notar que al ser el camp gravitatori un vector, no es pot aplicar el principi de superposició amb els mòduls dels camps gravitatoris creats per cada massa individual. Exemple 1 Considereu una massa M1 = 3 · 1012 kg situada al punt P1 = (2, 4) i una altra de valor M2 = 7 · 1012 kg situada al punt P2 = (1, 5). Es demana calcular el camp gravitatori que creen al punt Q = (5, 8). Considereu tots els valors en metres.

Podeu suposar coneguda la dada G = 6, 67 · 10 11 Nm2 /kg2 Per calcular el camp total gQ farem gQ = g1 + g2 = G M1 r3 1 r1 G M2 r3 2 r2 on r1 = P1Q = (3, 4) i r2 = P2Q = (4, 3), llavors r1 " r1" = " P1Q" = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 m i de forma semblant r2 " r2" = " P2Q" = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 m 37 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) de forma que gQ = g1 + g2 = 6, 67 · 10 11 · 3 · 1012 53 (3, 4) 6, 67 · 10 11 · 7 · 1012 53 (4, 3) = 6, 67 · 10 11 · 1012 53 3(3, 4) + 7(4, 3) = ( 19.74, 17.6) N/kg Exemple 2 Feu servir les dades de l'exemple anterior per calcular el potencial gravitatori que creen les masses M1, M2 en el punt Q.

Ara és VQ = V1 + V2 = G M1 r1 G M2 r2 = 6, 67 · 10 11 3 · 1012 5 6, 67 · 10 11 7 · 1012 5 = 6, 67 · 10 11 · 1012 5 (3 + 7) = 133, 4 J/kg 3.4 El moviment dels cossos celestes 3.4.1 Pes d'un cos Considerem ara un objecte de massa m situat sobre la superfı́cie de la Terra. Amb quina força és atret tal objecte? El resultat de l'apartat anterior ens diu que hem d'aplicar la fórmula F = G Mm r2 on com a r hem de considerar el radi de la Terra i no zero, ja que encara que l'objecte es trobi a la superfı́cie (a distància "zero" de la Terra), ho imaginem com si la Terra fos un objecte puntual (amb la mateixa massa), que crea el mateix camp.

Aixı́ F = G M m R2 la distància de m al centre de la Terra es considera que és R 38 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) R M m Si avaluem la quantitat G M R2 = 6, 67 · 10 11 5, 97 · 1024 (6, 37 · 106)2 = 9, 81 m/s2 g0 llavors tenim F = mg0 = P És a dir, la força amb que la Terra atrau un objecte de massa m coincideix amb el seu pes. Del resultat anterior se'n deriva una relació útil entre les constants que hi apareixen GM = g0R2 Per una altra banda, la variació de g amb l'altura sobre la superfı́cie de la Terra es caracteritza per g(h) = G M (R + h)2 R M h 39 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Exemple 3 Trobeu a quina altura sobre la superfı́cie terrestre el camp gravitatori s'ha reduı̈t n vegades, n N. Hem de resoldre l'equació GM (R + h)2 = g0 n d'on XXX GM (R + h)2 = XXX GM nR2 i nR2 = (R + h)2 fent l'arrel quadrada a banda i banda ± nR = R + h finalment h = ± nR R = R ± n 1 on, per les condicions del problema, és clar que les solucions admissibles són h = R n 1 3.4.2 Energia cinètica, potencial gravitatòria i mecànica Suposem un objecte de massa m que es troba en un tipus d'òrbita qualsevol al voltant d'un altre objecte de massa M.

Definim l'energia cinètica de m com Ec = 1 2 mv2 i l'energia potencial gravitatòria com Epg = mV = G Mm r L'energia mecànica és doncs EM = Ec + Epg = 1 2 mv2 G Mm r 40 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Exemple 4 Considereu un objecte de massa m = 300 kg que es troba en un moment donat a una altura sobre la superfı́cie terrestre h = 2 R allunyant-se en direcció radial amb velocitat v = 200 m/s. Suposant conegudes les dades: G = 6, 67 · 10 11 Nm2 /kg2 , M = 5, 97 · 1024 kg, R = 6, 37 · 106 m; es demana calcular per aquest instant: 1. La seva energia cinètica. 2. La seva energia potencial gravitatòria. 3. La seva energia mecànica.

En quant a l'energia cinètica, tenim Ec = 1 2 mv2 = 1 2 300 · 2002 = 6 · 106 J L'energia potencial gravitatòria es calcula com Epg = GM m R + h = 6, 67 · 10 11 · 5, 97 · 1024 · 300 6, 37 · 106 + 2 · 6, 37 · 106 = 6, 25 · 109 J Llavors, l'energia mecànica val EM = Ec + Epg = 6 · 106 6, 25 · 106 = 2, 5 · 105 J 3.4.3 Òrbites circulars estables Les òrbites circulars estables d'un objecte de massa m al voltant d'un cos celeste de massa M i radi R, a una alçada h sobre la superfı́cie d'aquest es poden trobar per aplicació de la segona llei de Newton F = mac GMm (R + h)2 = m v2 R + h d'on v = r GM R + h És important destacar que aquesta velocitat no depèn de la massa de l'objecte en òrbita i que disminueix amb la distància al centre de forces.

41 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Al calcular l'energia mecànica d'un objecte en una òrbita d'aquestes ca- racterı́stiques tenim EM = 1 2 mv2 G Mm r = 1 2 m GM r G Mm r = 1 2 G Mm r Noteu que l'energia mecànica és negativa, com correspon als sistemes lligats. Cal insistir en que l'expressió obtinguda només és vàlida per les òrbites circu- lars estables. En qualsevol altre situació, caldrà usar l'expressió més general de l'apartat 3.4.2 Noteu les relacions EM = Ec i Ec = 1 2 Epg (Teorema del virial) Exemple 5 Considereu un objecte de massa m = 100 kg que es troba en una òrbita circular estable a una altura sobre la superfı́cie de la Terra h = 15R .

Es demana calcular l'energia cinètica, potencial gravitatòria i mecànica. Dades: R = 6, 37 · 106 m, g0 = 9, 81 m/s2 . Tenim Ec = 1 2 mv2 = 1 2 m s GM R + 15R !2 = 100 32 GM R = 100 32 g0RA 2 Z Z R = 1, 95·108 J En quant a l'energia potencial gravitatòria, del teorema del virial sabem que és Epg = 2Ec = 3, 90 · 108 J i finalment, per l'energia mecànica tenim EM = Ec = 1, 95 · 108 J 42 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Exemple 6 Raoneu què passarà amb l'objecte de l'exemple anterior si la seva ve- locitat es redueix un 1%. Tant és quina sigui la disminució de la velocitat.

Si aquesta disminu- eix, l'òrbita circular estable que correspon a aquell valor estarà per sobre de l'òrbita actual, i per accedir-hi, hauria d'augmentar la seva energia potencial gravitatòria. Si no té mitjans autònoms per fer-ho, llavors caurà cap a la Terra seguint una trajectòria en espiral. 3.4.4 Òrbites geoestacionàries Per determinats usos civils, comercials, cientı́fics o fins i tot militars, cal tenir un satèl.lit en una òrbita tal que estigui permanentment sobre un punt de la superfı́cie terrestre. Aquestes òrbites s'anomenen geoestacionàries.

Per poder caracteritzar-les hem de demanar que el perı́ode de translació del satèl- lit sigui el mateix que el de rotació terrestre, 24 hores. Com que les òrbites són circulars (en aquest curs les considerarem aixı́ per simplicitat), la relació entre l'espai recorregut en una volta, el temps i la velocitat s'escriu com 2πr = vT on r = R +h és el radi de l'òrbita, v la velocitat i T el perı́ode del moviment.

Llavors, fent servir el resultat de l'apartat 3.3.3 per la velocitat de les òrbites circulars estables tenim, 2π(R + h) = s GM R + h · T d'on 4π2 (R + h)2 = GM R + h T2 reordenant termes (R + h)3 = GM T2 4π2 i finalment h = 3 r GM T2 4π2 R Es deixa com a exercici calcular el valor numèric amb les dades proporciona- des al llarg del tema. 43 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) És important adonar-se que les òrbites circulars estables que estiguin per sota de les geoestacionàries tindran una velocitat de translació més gran que la de la rotació terrestre, i que les que estan per sobre, tindran una velocitat menor que la de la rotació terrestre.

Exemple 7 Ens trobem a la vora del mar i volem llançar una pedra horitzontalment a un metre sobre la superfı́cie de l'aigua de forma que descrigui una òrbita circular estable al voltant de la Terra. Es demana calcular la velocitat a la que cal llançar-la. Compareu-la amb la velocitat de rotació terrestre.

Podeu suposar conegudes les dades: G = 6, 67 · 10 11 Nm2 /kg2 , M = 5, 97 · 1024 kg, R = 6, 37 · 106 m A partir de la fórmula v = s GM R + h tenim v = s 6, 67 · 10 11 · 5, 97 · 1024 6, 37 · 106 + 1 = 7, 91 · 103 m/s Per una altra banda, la velocitat de rotació terrestre es pot calcular a partir de 2πR = vT d'on v = 2πR T = 2π · 6, 37 · 106 24 · 3600 = 463, 24 m/s de manera que la velocitat de l'òrbita és 7, 91 · 103 463, 24 17 vegades més gran que la de la rotació terrestre. 44 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 3.4.5 Canvis d'òrbita En qualsevol exercici de canvi d'òrbita és convenient treballar mitjançant balanços d'energia. Vegem uns quants exemples.

Exemple 8 Calculeu el treball que s'ha de proporcionar a un satèl.lit de massa m que es troba en una òrbita circular estable a distància h1 sobre la superfı́cie terrestre si el volem situar en una altra òrbita més llunyana a altura h2. El treball demanat coincideix amb la diferència d'energia mecànica del satèl.lit al canviar d'òrbita. Aixı́ Wh1 h2 = 1 2 G M m R + h2 1 2 G M m R + h1 = 1 2 GM m 1 R + h2 1 R + h1 = 1 2 GM m Z Z R + h1 Z Z R h2 (R + h2)(R + h1) = 1 2 GM m h1 h2 (R + h2)(R + h1) = 1 2 GM m h2 h1 (R + h2)(R + h1) que com es pot veure fàcilment, és una quantitat positiva sempre que h2 > h1.

És a dir, encara que l'energia potencial gravitatòria sempre pren valors negatius, quan ens allunyem del centre de forces, l'energia potencial gravitatòria augmenta. Recordem que el zero és a l'infinit. 45 Fı́sica 2n Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Exemple 9 Calculeu el treball que cal fer per tal de posar en òrbita un satèl.lit des de la superfı́cie terrestre fins a una altura h. Suposarem sempre, si no es diu el contrari, que els objectes quan es llencen des de la superfı́cie d'un planeta, només tenen energia potencial gravitatòria. És a dir, ignorarem l'energia cinètica que poguessin tenir per efecte de la rotació del planeta.

Aquesta energia cinètica que estem ignorant depèn de la latitud del lloc de llançament, ja que a l'equador la velocitat de rotació és màxima, i als pols, zero. Aixı́, per calcular el treball demanat calcularem la diferència d'energia mecànica entre el punt de destinació del satèl.lit, i el de partida. S'ha de tenir present que la destinació del satèl.lit no té perquè ser en general una òrbita circular estable, (en aquest exemple sı́ ho és).

En definitiva, en el cas que ens ocupa podem escriure WR h = 1 2 G M m R + h G M m R = GM m 1 2(R + h) 1 R = GM m R 2(R + h) 2(R + h)R = GM m 2(R + h) R 2(R + h)R = GM m R + 2h 2(R + h)R 3.4.6 Velocitat d'escapament Suposem que volem llançar un objecte de massa m des d'una altura h sobre la superfı́cie terrestre amb prou velocitat perquè no torni mai més. Per calcular aquesta velocitat, anomenada velocitat d'escapament ve, demanarem que l'energia mecànica valgui zero, que és la condició perquè deixi d'estar lligat a la terra mitjançant la interacció gravitatòria 0 = EM = 1 2 mv2 GM m R + h 46 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) d'on sobté fàcilment ve = s 2GM R + h En el cas que la velocitat d'escapament d'un objecte estelar arribi a assolir un valor tant gran com ve = 3 · 108 m/s c, llavors ni tan sols la llum pot sortir de la seva superfı́cie i podem identificar-lo com un forat negre. Anomenem radi d'Schwarzschild (RS) d'un cos celest, al radi que haria de tenir per tal que la seva velocitat d'escapament fos la de la llum, suposant que la seva massa no varia. Exemple 10 Calculeu el radi d'Schwarzschild de la Terra. Podeu considerar cone- guda les dades: R = 6, 37 · 106 m, g0 = 9, 81 m/s2 .

Del resultat c = r 2GM RS tenim RS = 2GM c2 = 2g0R2 c2 = 2 · 9, 81 · (6, 37 · 106 )2 (3 · 108)2 = 8, 884 · 10 3 m 9 mm Noteu que estem parlant de que tota la massa de la Terra estigui con- centrada en una esfera de 9 mm de radi. Com es veu, els valors de la den- sitat que s'assoleixen en els forats negres són elevadı́ssims. La distorsió que produeixen al seu voltant en l'espai-temps és tant gran que, de l'estructura espai-temporal habitual que tenim a l'univers, tres dimensions espacials i una temporal, es passa a tres temporals i una espacial, un cop travessat l'horitzó d'esdeveniments del forat negre. 47 Fı́sica 2n Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 3.4.7 Tipus d'òrbita segons l'energia total El valor de l'energia total d'un cos respecte un altre, que considerem el cen- tre de forces, condiciona els diferents tipus d'òrbites que aquell pot descriure. Aixı́, si EM < 0, llavors el sistema està lligat mitjançant la interacció gravi- tatòria i les òrbites poden ser circulars, o el.liptiques. Si EM = 0 el sistema no està lligat i les òrbites són paràboles (aquest, no és el cas de trajectòries parabòliques estudiades a primer de batxillerat). Finalment, si EM > 0, lla- vors el sistema tampoc està lligat mitjançant la interacció gravitatòria i ara les òrbites són hipèrboles.

3.4.8 Caiguda lliure Els problemes de moviment vertical no es poden resoldre, tal i com s'ha vist al llarg del capı́tol, amb els resultats del curs de Fı́sica de primer de batxillerat. La raó fonamental és que per variacions d'altura prou grans, el fet que la g no sigui constant s'ha de tenir en compte. Aquest advertiment ha de quedar molt clar, especialment en els exercicis de caiguda lliure. De tota manera s'ha de fer servir el sentit comú, ja que és possible trobar exercicis en els que sı́ puguem fer servir la coneguda relació mgh = 1 2 mv2 Exemple 11 Un objecte de massa m cau amb velocitat v des d'una altura h…