Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari

I 0 flashcards i 15 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS FÍSICA Selectivitat (PAU Catalunya) AprenAI 2026-2027 Gravitación, electromagnetismo, ondas, óptica y física moderna para la PAU de Cataluña, con esquemas, test y formulario que dice cuándo usar cada fórmula. APREN.AI Índex Tema 1: Camp gravitatori 1 Llei de gravitació universal i camp gravitatori 4 1. La llei de gravitació universal 4 2. Principi de superposició 5 3. Intensitat del camp gravitatori 6 4. Caràcter conservatiu del camp gravitatori 7 5.

Potencial gravitatori i superfícies equipotencials 8 2 Dinàmica orbital, lleis de Kepler i energia 10 Dinàmica del moviment orbital circular 10 Deducció de la tercera llei de Kepler 11 Conservació del moment angular en camps centrals 11 Balanç energètic en òrbites lligades 12 Classificació de les òrbites segons l'energia mecànica 12 Velocitat d'escapament 13 Energia i maniobra de satel·lització 14 Satèl·lits geoestacionaris 14 Introducció a la cosmologia i a l'astrofísica 15 Tema 2: Camp electromagnètic 3 Camp elèctric i potencial electrostàtic 19 Interacció electrostàtica i llei de Coulomb 19 Intensitat del camp elèctric 20 Línies de camp i superfícies equipotencials 21 Potencial electrostàtic i energia potencial elèctrica 21 Dinàmica de càrregues en camps elèctrics uniformes 23 Exemple resolt: camp, potencial i treball en el pla 24 4 Camp magnètic i interaccions electromagnètiques 25 1.

Naturalesa del camp magnètic i experiment d'Ørsted 26 2. Acció del camp magnètic sobre càrregues en moviment: força de Lorentz 26 3. Acció del camp magnètic sobre conductors amb corrent 28 4. Fonts de camp magnètic: llei de Biot-Savart 29 5. Teorema d'Ampère 30 6. Força entre conductors paral·lels i definició de l'ampere 31 7. Inducció electromagnètica: lleis de Faraday i Lenz 31 8. Problemes resolts pas a pas 35 Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 1 Tema 3: Vibracions i ones 5 Moviment harmònic simple 39 1. Moviment periòdic, oscil·latori i harmònic simple 39 2. Cinemàtica de l'oscil·lador harmònic simple 41 3. Dinàmica de l'oscil·lador harmònic 42 4.

Balanç energètic en el MHS 43 5. Sistemes oscil·lants d'interès 45 6. Problema resolt: cinemàtica, dinàmica i balanç energètic 47 6 Moviment ondulatori i ones sonores 49 Naturalesa del moviment ondulatori 49 Magnituds de l'ona i funció d'ona harmònica plana 51 Doble periodicitat: temporal i espacial 52 Transport d'energia, potència i intensitat de l'ona 53 Ones sonores i nivell d'intensitat sonora 53 Fenòmens ondulatoris: interferència i ones estacionàries 54 Columnes d'aire en tubs i ressonància 55 7 Naturalesa de la llum i òptica física 57 1. El debat històric sobre la naturalesa de la llum 58 2. La síntesi electromagnètica de Maxwell i els seus límits 59 3.

Mesura experimental de la velocitat de la llum 60 4. De la crisi de l'èter a la relativitat especial 62 5. La dualitat ona-corpuscle: la hipòtesi de De Broglie 63 8 Òptica geomètrica i imatges en lents primes 65 1. Principis fonamentals de l'òptica geomètrica 66 2. Reflexió, refracció i reflexió total 66 3. Lents primes: classificació i criteri de signes DIN 67 4. Equacions de les lents i potència 69 5. Traçat de raigs en lents primes 69 6. Exemple resolt: resolució analítica i gràfica combinades 72 Tema 4: Física moderna 9 Física quàntica i efecte fotoelèctric 76 1. La crisi de la física clàssica i la hipòtesi de Planck 76 2. L'efecte fotoelèctric i la hipòtesi corpuscular d'Einstein 77 3.

Equació fotoelèctrica d'Einstein i balanç energètic 79 4. Mesura experimental de l'energia cinètica màxima: potencial de frenada 80 5. Exemple resolt: balanç energètic complet en l'efecte fotoelèctric 82 10 Estructura nuclear, radioactivitat i reaccions nuclears 83 Constitució del nucli atòmic i forces nuclears 84 Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 2 Defecte de massa i energia d'enllaç nuclear 85 Desintegració radioactiva i lleis estadístiques 86 Reaccions nuclears de fissió i de fusió 88 Aplicacions de la física nuclear 90 11 Balanç energètic de les reaccions nuclears 92 1. La unitat de massa atòmica i la seva equivalència en energia 92 2.

Energia d'enllaç i energia d'enllaç per nucleó 92 3. Balanç energètic d'una reacció nuclear 93 4. De l'energia per reacció a l'energia per quilogram 94 12 Formulari 97 1. Camp gravitatori 97 2. Dinàmica orbital 97 3. Camp elèctric 98 4. Camp magnètic i inducció 98 5. Moviment harmònic simple 99 6. Ones i so 100 7. Naturalesa de la llum i relativitat 100 8. Òptica geomètrica i lents 101 9. Física quàntica i efecte fotoelèctric 101 10.

Física nuclear 101 Constants i valors 102 Errors típics 102 Solucions de les preguntes de repàs 104 Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 3 1 Llei de gravitació universal i camp gravitatori EN ACABAR SABRÀS Saber aplicar la llei de gravitació universal i el principi de superposició a sistemes de masses puntuals. Saber calcular la intensitat del camp gravitatori i la seva variació amb l'altura. Saber relacionar treball, energia potencial i potencial gravitatori en un camp conservatiu. Saber interpretar les línies de camp i les superfícies equipotencials.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Si deixes caure una ploma i un martell a la Lluna, on no hi ha aire, quin arriba primer a terra? 1. La llei de gravitació universal La interacció gravitatòria és una de les quatre interaccions fonamentals de la natura i descriu l'atracció mútua que experimenten dos cossos pel simple fet de tenir massa. Formulada per Isaac Newton a finals del segle XVII, aquesta interacció regeix tant la caiguda lliure dels objectes a la superfície terrestre com la mecànica celeste a gran escala.

DEFINICIÓ Dues partícules puntuals de masses i , separades per una distància , experimenten una força d'atracció mútua dirigida al llarg de la recta que les uneix, directament proporcional al producte de les seves masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa.

En forma vectorial, la força gravitatòria que exerceix la massa sobre la massa s'expressa així: TEMA 1 Camp gravitatori 1 Llei de gravitació universal i camp gravitatori 2 Dinàmica orbital, lleis de Kepler i energia m 1 m 2 r m 1 m 2 = F12 G r2 m m 1 2 u ^r Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 4 on és la constant de gravitació universal, que en el Sistema Internacional val , i és el vector unitari radial que apunta des de cap a . El signe negatiu indica que la força és sempre atractiva. Esquema del parell de forces d'acció i reacció entre dues masses.

Les propietats essencials d'aquesta força són: Compleix el principi d'acció i reacció: les forces formen un parell d'interacció mútua, . Tenen el mateix mòdul i la mateixa direcció, però sentits oposats, i cadascuna actua sobre un cos diferent. Força central: la direcció de la força passa sempre pels centres de les masses implicades. Interacció a distància: no necessita contacte físic ni cap medi material entre les masses per propagar-se. 2. Principi de superposició Quan un sistema està format per més de dues masses, la força que cada massa exerceix sobre una partícula determinada no queda alterada per la presència simultània de les altres.

La força total és la suma vectorial de les forces individuals que exerceix cadascuna de les fonts. Per a una distribució discreta de partícules de masses que actuen sobre una massa de prova , la força resultant és: Si la massa està repartida de manera contínua en un cos extens, el sumatori es convertiria en una integral, però a la PAU no cal: n'hi ha prou de saber que una esfera homogènia (un planeta, una estrella) atreu els cossos exteriors com si tota la seva massa estigués concentrada al centre.

G G = 6,674 × 10 N 11 m /kg 2 2 = u ^r r12 r12 m 1 m 2 = F21 F12 N m i m 0 = Ftotal = i=1 N Fi0 Gm 0 i=1 N r i0 2 m i u ^i0 Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 5 EXEMPLE Dues masses puntuals de i són a l'eix X, a les posicions i , respectivament. En quin punt intermedi s'anul·la la força sobre una tercera massa ? La força gravitatòria neta s'anul·la a de l'origen. 3. Intensitat del camp gravitatori Per evitar la idea d'una acció instantània a distància, s'introdueix el concepte de camp gravitatori. Una massa modifica les propietats de l'espai que l'envolta, de manera que qualsevol altra massa situada en aquesta regió experimenta una força.

DEFINICIÓ La intensitat del camp gravitatori en un punt de l'espai és la força gravitatòria que experimenta la unitat de massa de prova col·locada en aquell punt: . La seva unitat en el Sistema Internacional és el N/kg (equivalent a ). Per a una massa puntual (o una esfera homogènia de massa vista des de fora, a una distància del seu centre), el vector camp gravitatori és: Igual que la força, la intensitat de camp compleix el principi de superposició: . Variació de la gravetat amb l'altura En el cas d'un planeta esfèric de massa i radi , el valor de l'acceleració de la gravetat a la seva superfície és: A una altura sobre la superfície, la distància al centre del planeta passa a ser .

Per tant, la intensitat de camp disminueix: Aquesta dependència amb l'invers del quadrat explica per què, a altituds elevades, l'atracció del planeta disminueix progressivament i només tendeix a zero quan la distància tendeix a infinit. 4 kg 9 kg x = 0 m x = 5 m m 0 Es planteja l'equilibri de forces en un punt situat entre les dues masses: . 1 x = F1 F2 Se substitueixen els mòduls: . 2 G = x2 4m 0 G (5 x)2 9m 0 Se simplifiquen els factors comuns i : . 3 G m 0 = x2 4 (5 x)2 9 Prenent arrels quadrades positives: .

4 = x 2 5 x 3 2(5 x) = 3x 10 = 5x x = 2 m 2 m g = g m F m/s2 M r = g G r2 M u ^r = gtotal i gi M R g = 0 G R2 M h r = R + h g(h) = G = (R + h)2 M g 0 ( R + h R ) 2 Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 6 4. Caràcter conservatiu del camp gravitatori Una força és conservativa quan el treball que fa sobre una partícula depèn només de les posicions inicial i final, i no del camí recorregut entre totes dues. DEFINICIÓ Una força és conservativa si la seva circulació al llarg de qualsevol corba tancada és nul·la: . El treball que fa aquesta força és igual a la disminució d'una funció escalar de la posició anomenada energia potencial: .

Diagrama de la força pes vertical que actua sobre un cos. Aproximació de camp uniforme a prop de la superfície A prop de la superfície terrestre, on l'altura és menyspreable davant del radi del planeta , el camp es considera constant: . El treball per desplaçar una massa verticalment des de fins a és: D'aquí surt la coneguda expressió local , on és una constant arbitrària que fixa el nivell de referència zero (normalment el terra). Expressió general de l'energia potencial gravitatòria A distàncies astronòmiques el camp no és constant i cal integrar la força de Newton.

El treball que fa el camp gravitatori per desplaçar una partícula de massa des d'una distància radial fins a d'una massa central és: Comparant-ho amb la definició general , s'obté la correspondència: Si s'adopta el conveni universal de situar l'origen de l'energia potencial a l'infinit ( ), l'energia potencial gravitatòria a una distància és: F F d = r 0 W = A B ΔE = p E p,A E p,B h R = P mg j ^ h A h B W = A B ( mg) dy = h A h B mg(h B h ) = A mgh A mgh B E (h) = p mgh + c c m r A r B M W = A B G dr = r A r B ( r2 Mm ) G = [ r Mm ] r A r B G r B Mm G r A Mm W = A B E p,A E p,B E p,A E = p,B G ( r A Mm ) G ( r B Mm ) E ( ) = p 0 r E (r) = p G r Mm Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 7 ERROR FREQÜENT Molts estudiants obliden el signe negatiu de l'energia potencial general.

Com que l'origen és a l'infinit, tot punt a una distància finita es troba dins d'un pou de potencial i, per tant, l'energia potencial és estrictament negativa. Augmenta (es fa menys negativa) quan ens allunyem de la massa central i tendeix a zero a l'infinit. COMPROVA-HO 2 Un cos s'allunya de la Terra: la seva energia potencial gravitatòria augmenta o disminueix? 5. Potencial gravitatori i superfícies equipotencials Per descriure el camp amb una magnitud escalar que no depengui de la massa de prova que s'hi col·loqui, es defineix el potencial gravitatori . DEFINICIÓ El potencial gravitatori en un punt de l'espai és l'energia potencial per unitat de massa col·locada en aquell punt: .

En el Sistema Internacional es mesura en J/kg. Per a una massa puntual , el potencial a una distància és: El treball que fa el mateix camp gravitatori per desplaçar una massa entre dos punts i està relacionat directament amb la diferència de potencial: Magnitud Caràcter Expressió matemàtica Unitats (SI) Comportament amb la distància ( ) Força gravitatòria ( ) Vectorial N Tendeix a zero ( ) Camp gravitatori ( ) Vectorial Tendeix a zero ( ) Energia potencial ( ) Escalar J Negativa, tendeix a zero ( ) Potencial gravitatori ( ) Escalar J/kg Negatiu, tendeix a zero ( ) La relació diferencial entre el camp vectorial i el potencial escalar és el gradient: . Amb simetria esfèrica, es redueix a .

V V V = m E p M r V (r) = G r M m A B W = A B mΔV = m(V B V ) = A m(V A V ) B r F G r2 Mm u ^r 1/r2 g G r2 M u ^r N/kg = m/s 2 1/r2 E p G r Mm 1/r V G r M 1/r = g V g(r) = dr dV Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 8 Les línies de camp són corbes tangents en cada punt al vector i indiquen el sentit en què el potencial disminueix. Les superfícies equipotencials són els llocs geomètrics on el potencial gravitatori és constant ( ). Les línies de camp i les superfícies equipotencials són perpendiculars entre si en tots els punts de l'espai. COMPROVA-HO 3 Quin treball fa el camp gravitatori quan una massa es mou sobre una superfície equipotencial?

CAUSES I CONSEQÜÈNCIES Presència de massa Modifica l'espai del voltant i hi genera atracció gravitatòria Interacció atractiva universal Actua al llarg de la recta que uneix les partícules Configuració del camp gravitatori Línies de camp radials Convergeixen cap als centres de massa Superfícies equipotencials esfèriques Envolten la massa de manera concèntrica, amb potencial constant Gradient de potencial El potencial augmenta en allunyar- se cap a l'infinit IDEES CLAU La llei de gravitació universal estableix una força d'atracció mútua entre masses, inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa.

La intensitat del camp gravitatori és la força per unitat de massa i disminueix amb el quadrat de la distància al centre del planeta. Com que és una força conservativa, el treball gravitatori no depèn de la trajectòria i s'expressa com la disminució de l'energia potencial: . Amb el conveni de referència nul·la a l'infinit, l'energia potencial gravitatòria i el potencial gravitatori són sempre negatius a distàncies finites. Les línies de camp apunten cap a potencials decreixents i són perpendiculars en tot punt a les superfícies equipotencials. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 4. Per què el potencial gravitatori té signe negatiu quan es fixa l'origen de potencials a l'infinit? 5.

Si el radi d'un planeta es redueix a la meitat i la massa es manté constant, com canvia la gravetat a la nova superfície? g V = ct. g W = ΔE p Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 9 TEMA 1: CAMP GRAVITATORI 2 Dinàmica orbital,lleis de Kepler i energia EN ACABAR SABRÀS Saber deduir la velocitat orbital i la tercera llei de Kepler a partir de la llei de gravitació. Saber aplicar la conservació del moment angular i de l'energia a òrbites circulars i el·líptiques. Saber calcular la velocitat d'escapament, l'energia de satel·lització i l'òrbita geoestacionària. Saber explicar l'evolució de les teories cosmològiques, la llei de Hubble i la idea de matèria fosca.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 6 L'Estació Espacial Internacional fa una volta a la Terra en uns 90 minuts. La Lluna en triga uns 27 dies. Per què hi ha tanta diferència? Dinàmica del moviment orbital circular Per descriure la trajectòria d'un cos celeste o d'un satèl·lit artificial de massa en òrbita circular de radi al voltant d'un astre central de massa ( ), s'aplica la segona llei de Newton. Com s'ha vist a «Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori», l'única interacció neta que experimenta el satèl·lit és l'atracció gravitatòria dirigida cap al centre de l'astre.

Per tant, aquesta força actua íntegrament com a força centrípeta: Aïllant el mòdul de la velocitat amb què recorre la trajectòria, s'obté l'expressió de la velocitat orbital: D'aquesta relació se'n desprenen dos aspectes fonamentals: en primer lloc, la velocitat orbital no depèn de la massa del satèl·lit ; en segon lloc, com més gran és el radi de l'òrbita , més lentament es desplaça el cos. m r M M m F = g F = c r2 GMm m r v2 v = orb r GM m r Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 10 Diagrama de forces i velocitat en una òrbita circular al voltant de la Terra.

Deducció de la tercera llei de Kepler Com que es tracta d'un moviment circular uniforme amb velocitat de mòdul constant, el període de revolució és el temps necessari per fer una volta completa, de longitud : Elevant al quadrat els dos membres de l'equació, s'arriba a la tercera llei de Kepler: TERCERA LLEI DE KEPLER El quocient entre el quadrat del període orbital i el cub del semieix major (o radi mitjà) de l'òrbita és una constant, la mateixa per a tots els cossos que orbiten al voltant del mateix astre central, i només depèn de la constant de gravitació universal i de la massa del cos central .

Conservació del moment angular en camps centrals La força gravitatòria és una força central: en tot moment apunta cap al centre de l'astre principal, que prenem com a origen de coordenades ( ). El moment d'aquesta força respecte a l'origen és nul: Segons el teorema del moment angular, la derivada temporal del moment angular és igual al moment de les forces ( ). En conseqüència, es manté constant en mòdul, direcció i sentit durant tot el moviment orbital: T 2πr T = = v orb 2πr = r GM 2πr 2π GM r3 T = 2 r = GM 4π2 3 r3 T2 = GM 4π2 ct. G M F × r = 0 M = O r × F = 0 = dt dL M O L L = r × p = m(r × v) = ct.

Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 11 Aquesta propietat implica dos fets molt importants: La trajectòria està continguda en un pla fix, perpendicular al vector moment angular . Es compleix la segona llei de Kepler (llei de les àrees): el radi vector escombra àrees iguals en temps iguals ( ). En el cas de les òrbites el·líptiques, a les posicions extremes anomenades periheli (punt més proper) i afeli (punt més allunyat) —perigeu i apogeu si l'astre central és la Terra—, els vectors posició i velocitat són perpendiculars entre si ( ).

Per això, la conservació de permet relacionar directament les dues posicions: Com que , es conclou que : el satèl·lit o planeta té la velocitat màxima quan passa pel periheli i la mínima quan passa per l'afeli.

Balanç energètic en òrbites lligades L'energia mecànica total d'un satèl·lit en òrbita circular és la suma de la seva energia cinètica i de la seva energia potencial gravitatòria (amb l'origen de potencial nul a l'infinit, com s'ha vist a «Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori»): Substituint el valor de la velocitat orbital ( ), l'energia cinètica resulta ser exactament la meitat del valor absolut de l'energia potencial: Sumant les dues contribucions s'obté l'energia mecànica d'un sistema lligat: PER RECORDAR-HO En tota òrbita circular es compleix la relació fonamental: .

L'energia mecànica total és sempre estrictament negativa, cosa que caracteritza un estat lligat: el satèl·lit no té prou energia per escapar de l'atracció gravitatòria. Classificació de les òrbites segons l'energia mecànica La cònica que descriu un cos sotmès a la interacció gravitatòria newtoniana depèn directament del signe de la seva energia mecànica total: Energia mecànica ( ) Tipus de trajectòria Estat dinàmic Comportament a l'infinit ( ) El·líptica (o circular) Lligat No arriba a l'infinit; moviment periòdic confinat. L = dt dA = 2m L ct.

sin 90 = 1 L L = p L r v = a p p r v a a r < p r a v > p v a E = m E + c E = p mv + 2 1 orb 2 ( r GMm ) v = orb 2 r GM E = c = 2 1 r GMm E 2 1 p E = m 2 1 r GMm = r GMm 2r GMm E = m E = c 2 E p E m r E < m 0 Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 12 Energia mecànica ( ) Tipus de trajectòria Estat dinàmic Comportament a l'infinit ( ) Parabòlica Límit d'escapament Arriba a l'infinit amb velocitat residual nul·la ( ). Hiperbòlica No lligat Arriba a l'infinit amb una velocitat residual finita ( ).

ESQUEMA Trajectòries còniques segons l'energia mecànica total Velocitat d'escapament La velocitat d'escapament és la velocitat mínima que cal donar a un cos perquè surti definitivament del camp gravitatori d'un astre i arribi a l'infinit amb energia cinètica nul·la ( ). Aplicant el principi de conservació de l'energia mecànica des d'un punt situat a una distància radial del centre: Si el llançament es fa directament des de la superfície del planeta de radi , la velocitat d'escapament val: on és l'acceleració de la gravetat a la superfície.

E m r E = m 0 v = 0 E > m 0 v > 0 Òrbites lligades (E < 0) Trajectòries tancades i periòdiques Trajectòria circular Excentricitat nul·la, e = 0 Trajectòria el·líptica Excentricitat 0 < e < 1 Trajectòries d'escapament (E 0) Trajectòries obertes Trajectòria parabòlica Energia nul·la i excentricitat e = 1 Trajectòria hiperbòlica Energia positiva i excentricitat e > 1 E = m, 0 r E (r) = m E ( ) mv m 2 1 e 2 = r GMm 0 v = e = r 2GM v 2 orb R v = e = R 2GM 2g R 0 g = 0 R2 GM Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 13 ERROR FREQÜENT Confondre la velocitat d'escapament des d'una òrbita circular amb la velocitat d'escapament des de la superfície.

Si un satèl·lit ja orbita amb velocitat a una distància , la seva energia mecànica ja és . L'energia cinètica addicional que necessita per escapar és menor que si sortís del repòs des d'aquest mateix punt. Energia i maniobra de satel·lització Posar en òrbita un satèl·lit artificial requereix portar-lo des de la superfície terrestre (radi ) fins al radi orbital desitjat i, a més, donar-li la velocitat tangencial necessària perquè no caigui.

L'energia mínima que han de subministrar els motors del coet s'anomena energia de satel·lització ( ): Si considerem que a la superfície el satèl·lit només té energia potencial ( , menyspreant la rotació terrestre): Satèl·lits geoestacionaris Un satèl·lit geoestacionari és el que roman immòbil respecte a un observador situat a la superfície de la Terra. Per aconseguir-ho, l'òrbita ha de complir tres condicions: 1. Període sincrònic: el període orbital ha de coincidir amb el període de rotació de la Terra sobre el seu eix (en l'aproximació habitual, ). 2.

Pla orbital equatorial: la trajectòria circular ha de ser al pla de l'equador terrestre; si no, un observador a la superfície el veuria oscil·lar de nord a sud. 3. Sentit de gir: ha d'orbitar en sentit directe (d'oest a est), igual que la rotació de la Terra. Aïllant el radi orbital de la tercera llei de Kepler: Substituint les dades de la Terra ( i ), s'obté un radi orbital d'aproximadament , que equival a una altura sobre l'equador d'uns . COMPROVA-HO 7 Un satèl·lit en òrbita circular baixa a una òrbita més propera a la Terra. La seva velocitat augmenta o disminueix?

v orb r E = m 2r GMm R T r = R + T h v orb E s E + m,superf cie ı ˊ E = s E m, rbita o ˋ E = m,sup R T GM m T + R T GM m T E = s E = 2r GM m T s GM m T ( R T 1 2r 1 ) T = 24 h = 86.400 s r = 3 4π2 GM T T 2 M T 5,97 × 10 kg 24 T = 86.400 s 42.200 km h = r R T 35.800 km Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 14 EXEMPLE RESOLT: ÒRBITA CIRCULAR I CONSERVACIÓ DEL MOMENT ANGULAR Enunciat: Un satèl·lit de gira en una òrbita circular al voltant de la Terra a una altura . Dades: , , . Introducció a la cosmologia i a l'astrofísica La cosmologia estudia l'origen, l'estructura i l'evolució de l'Univers com un tot.

La gravetat és la interacció que domina a gran escala: manté units els planetes, les estrelles, les galàxies i els cúmuls de galàxies. Per això, la llei de Newton i les seves conseqüències (velocitat orbital, lleis de Kepler) són l'eina bàsica de l'astrofísica. Evolució històrica de les teories cosmològiques Model Autors i època Idea central Geocèntric Aristòtil (s. IV aC), Ptolemeu (s. II dC) La Terra és immòbil al centre; els astres giren al seu voltant en esferes i epicicles. Heliocèntric Copèrnic (1543), Galileu (observacions amb telescopi, 1610), Kepler (1609-1619) El Sol és al centre; els planetes descriuen òrbites el·líptiques (lleis de Kepler).

Gravitació universal Newton (Principia, 1687) La mateixa força explica la caiguda dels cossos i el moviment dels astres; deducció de les lleis de Kepler. Relativitat general Einstein (1915) La gravetat és la curvatura de l'espai-temps causada per la massa i l'energia; explica fenòmens que Newton no explica, com la desviació de la llum. Big Bang Lemaître (1927), Hubble (1929), Penzias i Wilson (1965) L'Univers s'expandeix a partir d'un estat inicial molt dens i calent, fa uns 13.800 milions d'anys. 500 kg h = 600 km G = 6,67 × 10 N m /kg 11 2 2 M = T 5,97 × 10 kg 24 R = T 6.370 km Càlcul del radi orbital: .

1 r = R + T h = 6.370 km + 600 km = 6.970 km = 6,97 × 10 m 6 Càlcul de la velocitat orbital: . 2 v = orb = r GM T 6,97×106 6,67×10 ×5,97×10 11 24 7.558 m/s Càlcul del període de revolució: . 3 T = = v orb 2πr 7.558 2π×6,97×106 5.794 s 96,6 min Càlcul de l'energia mecànica total: . 4 E = m = 2r GM m T 2×6,97×106 6,67×10 ×5,97×10 ×500 11 24 1,43 × 10 J 10 Aplicació a una òrbita el·líptica: si una pertorbació transforma l'òrbita en el·líptica, de manera que el perigeu és a amb una velocitat i l'apogeu a , calculem la velocitat a l'apogeu amb la conservació del moment angular: .

5 r = p 6,97 × 10 m 6 v = p 7.800 m/s r = a 8,50 × 10 m 6 r v = p p r v v = a a a = r a r v p p 8,50×106 6,97×10 ×7.800 6 6.396 m/s Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 15 L'expansió de l'Univers: llei de Hubble La llum de les galàxies llunyanes arriba amb les longituds d'ona allargades (desplaçament cap al vermell), perquè l'expansió de l'espai «estira» la llum durant el viatge. El 1929 Edwin Hubble va trobar que la velocitat amb què s'allunyen les galàxies és proporcional a la seva distància: on és la constant de Hubble, d'uns per megaparsec (mesures actuals entre 67 i 73).

Si fem el camí enrere, totes les galàxies havien estat juntes: aquesta és la base del model del Big Bang. Dues proves més el confirmen: la radiació de fons de microones (descoberta el 1965, és el «ressò» tèrmic de l'Univers primitiu, avui a uns 2,7 K) i l'abundància d'elements lleugers (hidrogen i heli) que prediu la teoria. ERROR FREQÜENT El Big Bang no és una explosió en un punt concret de l'espai buit. És l'expansió de l'espai mateix: no hi ha cap «centre» de l'Univers, i des de qualsevol galàxia es veuen les altres allunyar-se.

La matèria fosca: una aplicació del camp gravitatori Segons , les estrelles de la part exterior d'una galàxia haurien de girar més a poc a poc com més lluny són del centre, perquè gairebé tota la massa visible és al nucli. Però les mesures (Vera Rubin, anys setanta) mostren que la velocitat es manté gairebé constant fins molt lluny. Això vol dir que hi ha molta més massa de la que es veu: és la matèria fosca, que no emet llum però sí que crea camp gravitatori. A més, des del 1998 se sap que l'expansió de l'Univers s'accelera, cosa que s'atribueix a l'energia fosca.

Segons les dades actuals, la matèria ordinària és només un 5 % del contingut de l'Univers, la matèria fosca un 27 % i l'energia fosca un 68 %. COMPROVA-HO 8 Si una galàxia és el doble de lluny que una altra, amb quina velocitat s'allunya, segons la llei de Hubble? v = H d 0 H 0 70 km/s v = orb GM/r Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 16 IDEES CLAU La velocitat orbital en una òrbita circular només depèn de la massa de l'astre central i del radi de l'òrbita; no depèn de la massa del cos que orbita. La tercera llei de Kepler ( ) és una conseqüència directa del fet que la força gravitatòria fa de força centrípeta.

Com que la força és central i no fa moment respecte al focus, el moment angular es conserva en mòdul i direcció: les òrbites són planes i es compleix la llei de les àrees ( ). Els sistemes lligats tenen energia mecànica estrictament negativa ( ), mentre que la paràbola ( ) i la hipèrbola ( ) són trajectòries d'escapament. Un satèl·lit geoestacionari ha de ser al pla de l'equador, a uns d'altura, amb un període de i en sentit directe. L'Univers s'expandeix (llei de Hubble, ) des del Big Bang, fa uns 13.800 milions d'anys; les corbes de rotació de les galàxies revelen la matèria fosca. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 9.

Per què un satèl·lit en una òrbita circular més allunyada es desplaça a menys velocitat però triga més a fer una volta? 10. Quina relació quantitativa hi ha entre l'energia cinètica, la potencial i la mecànica d'un satèl·lit en òrbita circular? 11. Per què és imprescindible que un satèl·lit geoestacionari orbiti en el pla de l'equador terrestre? 12. Quina observació va portar a proposar l'existència de la matèria fosca? Test · Tema 1 Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13. Com canvia la força gravitatòria entre dues masses si la distància entre elles es triplica? 14. Quin valor té el treball que fa el camp gravitatori al llarg de qualsevol camí tancat? T /r = 2 3 ct.

r v = p p r v a a E < m 0 E = m 0 E > m 0 35.800 km 24 h v = H d 0 Es multiplica per nou a) Es redueix a la novena part b) Es redueix a la tercera part c) No canvia d) Zero joules a) Depèn de la massa de prova b) El producte de la força per la longitud c) Infinits joules d) Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 17 15. Quina relació geomètrica hi ha entre les línies de camp gravitatori i les superfícies equipotencials? 16. Quines unitats té el potencial gravitatori en el Sistema Internacional? 17. Com canvia la velocitat orbital d'un satèl·lit en òrbita circular si el radi de l'òrbita es multiplica per quatre? 18.

Quina és la condició energètica indispensable perquè un cos segueixi una trajectòria lligada i periòdica? 19. En una òrbita el·líptica, en quin punt és màxima la velocitat del cos? 20. Quina relació hi ha entre la velocitat d'escapament des d'un punt i la velocitat orbital circular en aquest mateix radi? 21. Què expressa la llei de Hubble?

Són perpendiculars en cada punt a) Coincideixen b) Es tallen formant un angle variable c) Són sempre paral·leles entre si d) N/kg a) J·m b) N·m² c) J/kg d) Es duplica a) No canvia b) Es redueix a la quarta part c) Es redueix a la meitat d) Energia mecànica total negativa a) Energia cinètica més gran que la potencial b) Energia mecànica total positiva c) Energia mecànica total exactament nul·la d) A l'afeli a) Als extrems del semieix menor b) Al periheli c) La velocitat és uniforme a tota l'el·lipse d) La d'escapament és 2 vegades l'orbital a) La d'escapament és el doble de l'orbital b) Són exactament iguals c) La d'escapament és la meitat de l'orbital d) Que les galàxies s'allunyen amb una velocitat proporcional a la seva distància a) Que totes les galàxies s'acosten a la Via Làctia b) Que l'Univers és estàtic i etern c) Que les galàxies giren al voltant de la Terra d) Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 18 3 Camp elèctric i potencial electrostàtic EN ACABAR SABRÀS Saber aplicar la llei de Coulomb i el principi de superposició per calcular forces i camps elèctrics.

Saber calcular el potencial, l'energia potencial d'un sistema de càrregues i el treball del camp. Saber interpretar les línies de camp i les superfícies equipotencials. Saber descriure el moviment d'una càrrega en un camp elèctric uniforme, tant en línia recta com en trajectòria parabòlica. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 22 Per què et pot fer una petita descàrrega el pom d'una porta després de caminar per una catifa? Interacció electrostàtica i llei de Coulomb La matèria té una propietat intrínseca anomenada càrrega elèctrica. A diferència de la massa, que sempre genera forces atractives, la càrrega elèctrica es presenta en dues varietats: positiva i negativa.

Dos cossos carregats amb el mateix signe experimenten una força de repulsió mútua, mentre que si tenen signes contraris experimenten una força d'atracció mútua. El 1785, el físic francès Charles-Augustin de Coulomb va quantificar experimentalment aquesta interacció amb una balança de torsió. La llei de Coulomb estableix que la força electrostàtica entre dues càrregues puntuals en repòs és directament proporcional al producte dels seus valors i inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa, i actua al llarg de la recta que les uneix: En el Sistema Internacional, la força es mesura en newtons (N), les càrregues en coulombs (C) i la distància en metres (m).

La constant de proporcionalitat depèn del medi material en què es troben les càrregues. En el buit o en l'aire, val aproximadament , on TEMA 2 Camp electromagnètic 3 Camp elèctric i potencial electrostàtic 4 Camp magnètic i interaccions electromagnètiques = F12 K r2 q q 1 2 u ^r K K = 0 4πε 0 1 9 × 10 N 9 m /C 2 2 ε = 0 Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 19 és la permitivitat elèctrica del buit. A diferència de la constant de gravitació universal (vegeu «Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori»), la constant electrostàtica varia considerablement segons el medi dielèctric que hi ha entre les càrregues.

Esquema de la superposició vectorial de forces electrostàtiques sobre una càrrega puntual. Quan en una regió hi ha diverses càrregues, la interacció global sobre una càrrega qualsevol es determina amb el principi de superposició: la força neta és la suma vectorial de les forces que cadascuna de les altres càrregues exerciria sobre ella de manera independent: Intensitat del camp elèctric Per evitar la idea d'una acció instantània a distància, s'introdueix el concepte de camp elèctric. Una càrrega font modifica les propietats de l'espai que l'envolta; aquesta pertorbació és el camp electrostàtic.

Es defineix la intensitat de camp elèctric ( ) en un punt de l'espai com la força que experimenta la unitat de càrrega de prova positiva col·locada en aquell punt: La seva unitat en el Sistema Internacional és el newton per coulomb (N/C), equivalent al volt per metre (V/m). Per a una càrrega puntual aïllada situada a l'origen, el camp que crea a una distància és: El principi de superposició s'estén de manera natural al camp elèctric: en una distribució de càrregues discretes, el camp elèctric total en un punt és la suma vectorial dels camps creats per cada càrrega, .

8,85 × 10 C /(N 12 2 m ) 2 q 0 = Ftotal = i=1 n Fi + F1 + F2 + Fn E = E q 0 F Q r = E K r2 Q u ^r = Etotal Ei Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 20 ERROR FREQÜENT No confonguis les constants ni les fonts dels camps: la interacció electrostàtica fa servir la constant electrostàtica i les càrregues , mentre que el camp gravitatori fa servir la constant de gravitació i les masses (vegeu «Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori»). A més, la gravetat és sempre atractiva, però la força elèctrica pot ser atractiva o repulsiva.

Línies de camp i superfícies equipotencials Les línies de camp elèctric donen una representació geomètrica i intuïtiva del vector . Compleixen les propietats fonamentals següents: Són tangents en cada punt al vector intensitat de camp i tenen el seu mateix sentit. Neixen a les càrregues positives (fonts) i moren a les càrregues negatives (pous), o s'estenen fins a l'infinit. La seva densitat (nombre de línies per unitat de superfície perpendicular) és proporcional al mòdul del camp en aquella regió. Dues línies de camp no es poden tallar mai, perquè en el punt d'intersecció el camp elèctric tindria dues direccions diferents, cosa físicament impossible.

Diagrama de línies de camp elèctric per a càrregues positives i negatives. Perpendiculars a les línies de camp hi ha les superfícies equipotencials, que són el lloc geomètric dels punts de l'espai que tenen el mateix potencial electrostàtic. Quan una càrrega es desplaça al llarg d'una superfície equipotencial, la força elèctrica no fa treball, perquè el desplaçament és perpendicular a la força.

Potencial electrostàtic i energia potencial elèctrica El camp electrostàtic és un camp de forces conservatives (vegeu «Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori»): el treball que fa la força electrostàtica sobre una càrrega que es mou entre dos punts no depèn de la trajectòria, sinó només dels punts inicial i final.

Això permet definir una energia potencial electrostàtica ( ): K Q G E E E p W = A B ΔE = p E p,A E p,B Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 21 Per a dues càrregues puntuals i separades una distància , i amb el conveni habitual que l'energia potencial és nul·la a l'infinit ( ), l'energia potencial del sistema és: Fixa't que si les càrregues tenen el mateix signe, (cal fer un treball extern per acostar-les en contra de la repulsió), mentre que si tenen signes oposats, (sistema lligat per l'atracció). Si el sistema té més de dues càrregues, la seva energia potencial és la suma de les energies de totes les parelles, comptant cada parella una sola vegada.

Per exemple, per a tres càrregues: Aquesta energia és igual al treball que cal fer per portar les càrregues des de l'infinit fins a la seva posició. El potencial electrostàtic ( ) en un punt és l'energia potencial per unitat de càrrega de prova situada en aquell punt: El potencial és una magnitud escalar; la seva unitat en el SI és el volt ( ). El treball que fa el mateix camp per traslladar una càrrega des d'un punt fins a un punt s'expressa en funció de la diferència de potencial: COMPROVA-HO 23 Un electró passa d'un punt a 100 V a un altre a 300 V. El camp hi fa un treball positiu o negatiu?

ESQUEMA Magnituds del camp electrostàtic Q q r E ( ) = p 0 E = p K r Qq E > p 0 E < p 0 E = p K + + ( r 12 q q 1 2 r 13 q q 1 3 r 23 q q 2 3 ) V V = = q E p K r Q 1 V = 1 J/C q A B W = A B q(V A V ) = B qΔV Magnituds vectorials Tenen mòdul, direcció i sentit Força electrostàtica Acció entre dues càrregues puntuals Camp elèctric Força per unitat de càrrega de prova Magnituds escalars Queden descrites només pel seu valor numèric Energia potencial Capacitat de fer treball electrostàtic Potencial electrostàtic Energia potencial per unitat de càrrega Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 22 Magnitud Caràcter Fórmula (càrrega puntual) Unitat SI Força electrostàtica ( ) Vectorial N Camp elèctric ( ) Vectorial N/C o V/m Energia potencial ( ) Escalar J Potencial elèctric ( ) Escalar V Dinàmica de càrregues en camps elèctrics uniformes En un camp elèctric constant i uniforme (com el que hi ha entre les plaques d'un condensador pla separades una distància amb una diferència de potencial , on ), una partícula de massa i càrrega experimenta una força constant: Velocitat inicial nul·la o paral·lela al camp Si la partícula surt del repòs o té una velocitat paral·lela a les línies de camp, descriu un moviment rectilini uniformement accelerat.

Per conservació de l'energia mecànica (sense fregament i menyspreant la gravetat), l'augment d'energia cinètica és igual a la disminució d'energia potencial: Les càrregues positives es mouen espontàniament cap a potencials decreixents, mentre que les càrregues negatives s'acceleren en sentit contrari al camp i es desplacen cap a regions de potencial més alt. Velocitat inicial perpendicular al camp: trajectòria parabòlica Si la partícula entra entre les plaques amb una velocitat perpendicular al camp (eix X paral·lel a les plaques, camp en la direcció de l'eix Y), el moviment és com un tir horitzontal: la força només actua en la direcció del camp. Eix X (sense força): moviment uniforme, .

Eix Y (força constant ): moviment uniformement accelerat, . Eliminant el temps s'obté l'equació de la trajectòria, que és una paràbola: Si les plaques tenen una longitud , la partícula hi és durant un temps i en surt desviada una distància i amb una velocitat vertical: En sortir de les plaques ja no hi ha força i la partícula continua en línia recta. Aquest és el principi de la desviació del feix en els antics tubs de raigs catòdics i en les impressores de raig de tinta.

F = F K r2 Qq u ^r E = E K r2 Q u ^r E p E = p K r Qq V V = K r Q d ΔV E = d ΔV m q = F q = E m a = a m qE ΔE = c ΔE p mv 2 1 f 2 mv = 2 1 0 2 q(V i V ) f v 0 x = v t 0 qE y = t 2 1 m qE 2 y = x 2mv 0 2 qE 2 L t = L/v 0 y = sortida , v = 2mv 0 2 qEL2 y mv 0 qEL Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 23 ERROR FREQÜENT Pensar que la component canvia dins de les plaques. La força elèctrica és perpendicular a : només canvia la component de la velocitat paral·lela al camp. Per a electrons i protons, el pes és menyspreable davant de la força elèctrica.

Exemple resolt: camp, potencial i treball en el pla EXEMPLE PAS A PAS Dues càrregues puntuals i estan fixes al pla , als punts i , respectivament. Considera .

Determina: v 0 v 0 q = 1 +4 μC q = 2 4 μC XY A( 3, 0) m B(3, 0) m K = 9 × 10 N 9 m /C 2 2 El potencial electrostàtic a l'origen i al punt : Per calcular el potencial fem servir la superposició de magnituds escalars: La distància de les dues càrregues al punt és : 1 O(0, 0) P(0, 4) m V = O K + r 1O q 1 K = r 2O q 2 9 × 10 + = 9 ( 3 4 × 10 6 3 4 × 10 6 ) 0 V P(0, 4) r = = (±3) + 4 2 2 5 m V = P 9 × 10 + = 9 ( 5 4 × 10 6 5 4 × 10 6 ) 0 V El vector camp elèctric total a l'origen : El camp degut a apunta en la direcció (s'allunya de la càrrega positiva): El camp degut a apunta cap a la càrrega negativa, també en el sentit : Sumant vectorialment els dos termes: 2 O(0, 0) E1 q 1 +i = E1 9 × 10 9 = 32 4 × 10 6 i 4000 N/C i E2 q 2 +i = E2 9 × 10 9 = 32 4 × 10 6 i 4000 N/C i (O) = Etotal + E1 = E2 8000 N/C i Punts de camp elèctric nul a l'eix X: A l'interior del segment ( ), els dos vectors apunten cap a la dreta i, per tant, no s'anul·len mai.

Fora del segment, com que les càrregues tenen el mateix valor absolut però són a distàncies diferents de qualsevol punt exterior, per a qualsevol valor finit de . Per tant, no hi ha cap punt a distància finita amb camp nul. 3 AB 3 < x < 3 = E1 E2 x Treball que fa el camp per traslladar una càrrega de prova des de fins a : Aplicant la definició de treball electrostàtic en funció del potencial: 4 q = 0 +2 μC P O W = P O q (V 0 P V ) = O 2 × 10 6 (0 0) = 0 J Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 24 IDEES CLAU La llei de Coulomb descriu la força central entre càrregues puntuals: repulsiva si tenen el mateix signe i atractiva si tenen signes oposats.

El camp elèctric és una magnitud vectorial que descriu la pertorbació de l'espai creada per les càrregues; el potencial electrostàtic n'és l'equivalent escalar. Les línies de camp surten de les càrregues positives, acaben a les negatives i són perpendiculars a les superfícies equipotencials. El camp electrostàtic és conservatiu, cosa que permet relacionar el treball amb la variació d'energia potencial: . En un camp elèctric uniforme, les càrregues positives s'acceleren cap a potencials més baixos i les negatives cap a potencials més alts; si entren perpendiculars al camp, descriuen una paràbola. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 24. Per què dues línies de camp electrostàtic no es poden tallar mai?

25. Quin moviment descriu una partícula carregada dins d'un camp elèctric uniforme? 26. Pot ser nul el potencial elèctric en un punt on el camp elèctric no ho és? TEMA 2: CAMP ELECTROMAGNÈTIC 4 Camp magnètic i interaccions electromagnètiques EN ACABAR SABRÀS Saber aplicar la força de Lorentz i descriure el moviment de càrregues en camps magnètics i les seves aplicacions. Saber calcular el camp magnètic de fils, espires i solenoides, i la força entre corrents paral·lels. Saber aplicar les lleis de Faraday i Lenz per calcular la fem i el sentit del corrent induït. Saber explicar el generador, el motor, el transformador i les aplicacions dels corrents de Foucault.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 27 Si mous un imant a dins i a fora d'una bobina connectada a una bombeta petita, la bombeta s'encén. I si deixes l'imant quiet a dins? W = ΔE = p q(V A V ) B Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 25 1. Naturalesa del camp magnètic i experiment d'Ørsted Fins a principis del segle XIX, l'electricitat i el magnetisme es consideraven fenòmens independents. Els fenòmens magnètics es limitaven a l'atracció o repulsió entre imants naturals i agulles imantades. El 1820, el físic danès Hans Christian Ørsted va descobrir per casualitat que un corrent elèctric desvia l'agulla d'una brúixola situada a prop.

Aquest descobriment va demostrar de manera concloent que les càrregues elèctriques en moviment generen camps magnètics, i va unificar l'estudi de l'electricitat i el magnetisme. El camp magnètic és la modificació de les propietats de l'espai generada per imants o per càrregues elèctriques en moviment. Aquesta pertorbació es descriu amb el vector inducció magnètica o camp magnètic, que s'escriu (o ) i la unitat del qual en el Sistema Internacional és el tesla (T).

A diferència del camp elèctric (vegeu «Tema 2: Camp electromagnètic — Camp elèctric i potencial electrostàtic»), no existeixen monopols magnètics aïllats: les línies de camp magnètic són sempre corbes tancades que, a l'exterior de l'imant, surten del pol nord i entren pel pol sud, i es tanquen per l'interior. Esquema de les línies de camp magnètic tancades d'un imant recte i d'un imant de ferradura. 2. Acció del camp magnètic sobre càrregues en moviment: força de Lorentz Experimentalment es comprova que una càrrega en repòs situada en un camp magnètic no experimenta cap interacció. En canvi, quan una partícula carregada hi entra amb una certa velocitat, apareix una força d'origen magnètic.

La interacció completa sobre una càrrega sotmesa alhora a un camp elèctric i a un camp magnètic és la força de Lorentz: Quan el camp elèctric és nul, la força purament magnètica es redueix a . El mòdul d'aquesta força és: on és l'angle que formen els vectors velocitat i camp magnètic . B B q E B F = q(E + v × B) F = m q(v × B) F = m q vB sin θ θ v B Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 26 Esquema vectorial de la força magnètica, perpendicular al pla format per v i B. PROPIETATS FONAMENTALS DE LA FORÇA MAGNÈTICA Depèn de la velocitat: si la partícula està en repòs ( ) o es desplaça en la mateixa direcció que les línies de camp ( o ), la força magnètica és nul·la ( ).

Perpendicularitat: la força és sempre perpendicular alhora al vector velocitat i al vector inducció magnètica . El seu sentit es determina amb la regla de la mà dreta (tenint en compte el signe de la càrrega ). Treball nul: com que la força és en tot moment perpendicular a la trajectòria ( ), la potència instantània és zero ( ); per tant, el camp magnètic no fa treball sobre una càrrega en moviment. Canvia la direcció del vector velocitat, però en manté constants el mòdul i l'energia cinètica.

Dinàmica de partícules carregades en un camp magnètic uniforme El tipus de trajectòria que descriu una partícula de massa i càrrega depèn de l'orientació de la seva velocitat inicial respecte a les línies de camp: Moviment rectilini uniforme ( ): com que la força és nul·la, la partícula continua indefinidament amb MRU a velocitat constant. Moviment circular uniforme ( ): la força magnètica actua exclusivament com a força centrípeta ( ).

Igualant les dues expressions: El període de gir i la freqüència angular o ciclotrònica s'obtenen a partir de la velocitat angular : v = 0 θ = 0 180 F = m 0 F m v B q F v m P = F m v = 0 m q v B v B F = m F c q vB = m R v2 R = q B mv T ω ω = v/R T = = v 2πR , ω = q B 2πm m q B Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 27 PER RECORDAR-HO Fixa't que ni el període ni la freqüència ciclotrònica depenen de la velocitat de la partícula ni del radi de l'òrbita: només depenen de la relació càrrega/massa ( ) i del camp magnètic aplicat.

Moviment helicoidal: si la velocitat forma un angle qualsevol amb el camp, es descompon en (paral·lela a , que produeix un avanç uniforme al llarg del camp) i (perpendicular a , que produeix un gir circular). El pas de l'hèlix val . Dispositius i aplicacions de camps creuats Dispositiu Fonament físic Equació Finalitat pràctica Selector de velocitats Camps i perpendiculars entre si i a la velocitat, de manera que les seves forces s'oposen ( ). Deixar passar sense desviar només les partícules amb una velocitat determinada. Espectròmetre de masses Combina un selector de velocitats amb una cambra de deflexió amb un camp uniforme on les partícules descriuen una semicircumferència.

Separar isòtops i identificar substàncies mesurant-ne la massa amb gran precisió. Ciclotró Accelerador de partícules amb dues cambres buides semicirculars («D») sotmeses a un camp perpendicular i a un camp altern a l'escletxa que les separa. Accelerar partícules carregades fins a energies cinètiques altes amb impulsos successius en ressonància. COMPROVA-HO 28 Un electró i un protó entren amb la mateixa velocitat, perpendicular a un mateix camp magnètic. Quin descriu la circumferència més petita? 3. Acció del camp magnètic sobre conductors amb corrent Un corrent elèctric en un conductor metàl·lic està format per un gran nombre de portadors de càrrega en moviment.

Com que cada electró experimenta la força magnètica, la suma de totes aquestes forces dona la força sobre un element de corrent o llei de Laplace: Per a un conductor rectilini de longitud dins d'un camp magnètic uniforme , la força total és: on el vector té la longitud del tram de conductor i apunta en el sentit del corrent convencional. T q/m θ v = v cos θ B v = v sin θ B p = v T E B F = e F m qE = qvB v = B E B R = qB mv m = v qB R B E f = 2πm qB dF = I(dl × B) L B F = I(L × B) F = ILB sin θ L Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 28 4.

Fonts de camp magnètic: llei de Biot-Savart Per determinar el camp magnètic que crea una distribució de corrent qualsevol en un punt de l'espai, Jean-Baptiste Biot i Félix Savart van enunciar el 1820 la llei que quantifica la contribució d'un element de conductor : on és la permeabilitat magnètica del buit ( ), és la distància entre l'element de conductor i el punt , i és el vector unitari que va des de l'element fins al punt .

De manera anàloga, per a una sola càrrega puntual amb velocitat , el camp creat és: Camps creats per configuracions habituals Integrant la llei de Biot-Savart per a diferents geometries s'obtenen les expressions que es fan servir a la pràctica (a la PAU només cal saber-les aplicar): Conductor rectilini indefinit: a una distància del conductor, les línies de camp són circumferències concèntriques en plans perpendiculars al fil. El mòdul del camp val: Diagrama de les línies de camp circulars i concèntriques que crea un fil conductor rectilini.

Espira circular: per a una espira de radi recorreguda per un corrent , el camp en un punt del seu eix situat a una distància del centre és: Al centre de l'espira ( ), l'expressió se simplifica: P dB dl dB = 4π μ 0 r2 I(dl × u ) r μ 0 μ = 0 4π × 10 T 7 m/A r P u r dl P q v B = 4π μ 0 r2 q(v × u ) r d B = 2πd μ I 0 R I x B(x) = 2(R + x ) 2 2 3/2 μ IR 0 2 x = 0 I Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 29 Esquema del camp magnètic al llarg de l'eix d'una espira circular. Solenoide ideal: a l'interior d'una bobina cilíndrica de longitud amb espires atapeïdes (densitat lineal ), el camp és pràcticament uniforme i paral·lel a l'eix, i a l'exterior és pràcticament nul: 5.

Teorema d'Ampère Així com el teorema de Gauss simplifica els càlculs electrostàtics quan hi ha molta simetria, el teorema d'Ampère relaciona la circulació del vector al llarg d'una línia tancada amb el corrent net que travessa la superfície limitada per aquesta corba: Diagrama del contorn tancat de circulació per aplicar el teorema d'Ampère. B = centre 2R μ I 0 L N n = N/L B = μ nI = 0 L μ NI 0 B C B C dl = μ I 0 tancat Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 30 DEDUCCIÓ DEL CAMP D'UN FIL RECTILINI AMB EL TEOREMA D'AMPÈRE Considerem una circumferència de radi concèntrica amb un conductor rectilini pel qual circula un corrent .

Per simetria cilíndrica, en tots els punts de la circumferència el mòdul de és constant i el camp és tangent a la circumferència ( ): Aplicant el teorema d'Ampère: 6. Força entre conductors paral·lels i definició de l'ampere Quan dos conductors rectilinis, indefinits i paral·lels, separats una distància , transporten corrents d'intensitats i , cadascun queda dins del camp magnètic creat per l'altre. El conductor 1 crea a la distància un camp magnètic perpendicular al pla dels dos fils de mòdul .

La força que aquest camp exerceix sobre una longitud del conductor 2 és: Per la tercera llei de Newton, el conductor 2 exerceix sobre l'1 una força igual i oposada; la força per unitat de longitud entre els dos fils és: REGLA DE SIGNES DE LES FORCES MAGNÈTIQUES MÚTUES Corrents del mateix sentit: els conductors s'atreuen. Corrents de sentits oposats: els conductors es repel·leixen.

Aquesta interacció va servir de base per a la definició clàssica de l'ampere en el SI: Un ampere és la intensitat d'un corrent constant que, mantingut en dos conductors paral·lels, rectilinis, de longitud infinita i secció circular menyspreable, situats a un metre de distància en el buit, produeix entre ells una força per unitat de longitud de . Des del 2019, l'ampere es defineix a partir del valor fix de la càrrega elemental , però la relació anterior continua sent vàlida i útil per entendre'l. 7. Inducció electromagnètica: lleis de Faraday i Lenz Flux magnètic El flux magnètic representa el nombre net de línies de camp magnètic que travessen una superfície .

Es defineix com la integral de superfície: d I B B dl B C dl = B dl = C B(2πd) B(2πd) = μ I 0 B = 2πd μ I 0 d I 1 I 2 d B = 1 2πd μ I 0 1 L F = 12 I LB = 2 1 L 2πd μ I I 0 1 2 = L F 2πd μ I I 0 1 2 2 × 10 N/m 7 e Φ S Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 31 En el cas d'un camp uniforme que travessa una espira plana de superfície : on és l'angle entre el vector camp i el vector superfície (perpendicular al pla de l'espira). La unitat del flux magnètic en el SI és el weber ( ). Lleis de Faraday i Lenz El 1831, Michael Faraday va comprovar que, sempre que varia el flux magnètic que travessa l'àrea limitada per un circuit, s'hi indueix una força electromotriu ( , fem).

Poc després, Heinrich Lenz va formular el sentit del corrent induït. L'expressió matemàtica conjunta és la llei de Faraday-Lenz: Per a una bobina de espires iguals en sèrie, la fem total induïda és . SIGNIFICAT FÍSIC DEL SIGNE NEGATIU (LLEI DE LENZ) El signe negatiu expressa la conservació de l'energia: el corrent induït circula sempre en el sentit en què el camp magnètic que crea tendeix a oposar-se a la variació del flux que l'ha originat. Si el flux augmenta, el corrent crea un camp de sentit contrari; si el flux disminueix, el corrent crea un camp del mateix sentit per mantenir-lo.

CAUSES I CONSEQÜÈNCIES Variació del camp magnètic El valor de B canvia amb el temps Variació de l'àrea Deformació del circuit o desplaçament d'una barra Gir de l'espira Canvi de l'angle entre l'espira i el camp Llei d'inducció electromagnètica de Faraday-Lenz Força electromotriu induïda Diferència de potencial generada segons Faraday Oposició al canvi (Lenz) Corrent induït que s'oposa a la variació del flux Força electromotriu en conductors mòbils Quan una barra conductora de longitud llisca amb velocitat constant , perpendicularment, sobre dos rails paral·lels dins d'un camp magnètic uniforme i constant perpendicular al pla del circuit, la superfície tancada varia linealment: .

El flux corresponent és . Aplicant la llei de Faraday: Φ = B S dS B S Φ = B S = BS cos θ θ B S 1 Wb = 1 T m2 ε ε = dt dΦ N ε = N dt dΦ L v B S(t) = Lx(t) = Lvt Φ(t) = BLvt ε = = dt dΦ BLv ε = BLv Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 32 Si el circuit té una resistència total , la intensitat que hi circula és . Aquest corrent experimenta, al seu torn, una força de frenada contrària al moviment: per mantenir la velocitat cal fer treball, que es transforma en energia elèctrica, tal com exigeix la conservació de l'energia. Aplicacions de la inducció: generadors, motors, transformadors, forns i frens Generador de corrent altern (alternador).

Una bobina de espires d'àrea gira amb velocitat angular constant dins d'un camp magnètic uniforme . L'angle entre i el vector superfície canvia amb el temps, , i per tant el flux també: La fem és sinusoidal, amb un valor màxim i una freqüència (a la xarxa elèctrica europea, 50 Hz). És el principi de funcionament de totes les centrals elèctriques (hidràuliques, tèrmiques, nuclears, eòliques): una turbina fa girar l'alternador i l'energia mecànica es transforma en elèctrica. Motor elèctric. Fa el procés invers. Una espira (o bobina) amb corrent dins d'un camp magnètic rep, segons la llei de Laplace, forces oposades als dos costats, que formen un parell de forces i la fan girar.

El moment del parell és . En els motors de corrent continu, un commutador inverteix el sentit del corrent cada mitja volta perquè el gir continuï sempre en el mateix sentit. El motor transforma energia elèctrica en mecànica. PROCÉS Conversió i transport en els transformadors elèctrics 1 Tensió al terna al primari S'aplica una tensió variable al debanat primari 2 Flux mag nètic oscil·lant El nucli ferromagnè tic canalitza el flux altern 3 Inducció al secundari La variació del flux indueix una fem al debanat secundari 4 Ajust de tensió i corrent Sortida adaptada se gons el quocient Ns / Np d'espires Transformador. La inducció electromagnètica és el pilar de l'electrificació moderna.

Un transformador consta de dos debanats acoblats magnèticament per un nucli ferromagnètic tancat. En aplicar una tensió alterna al primari, el flux variable indueix una tensió al secundari que depèn de la relació entre el nombre d'espires: En condicions ideals (rendiment ), la potència es conserva ( ), de manera que els corrents són inversament proporcionals a les tensions: . Per això l'electricitat es transporta a alta tensió: amb menys intensitat, es perd menys energia per efecte Joule a les línies. Un transformador només funciona amb corrent altern, perquè amb corrent continu el flux no varia. Corrents de Foucault: forns i frens d'inducció.

Quan una peça metàl·lica massissa està sotmesa a un flux variable, s'hi indueixen corrents en remolí, anomenats corrents de Foucault. R I = = R ε R BLv F = frenada ILB = R B L v 2 2 N S ω B B θ = ωt Φ(t) = NBS cos(ωt) ε(t) = = dt dΦ NBSω sin(ωt) ε = m x a ˋ NBSω f = ω/2π M = NISB sin θ = V p V s N p N s η 100% P = p P s I V = p p I V s s Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari 33 Plaques i forns d'inducció: una bobina sota el vidre porta un corrent altern d'alta freqüència (desenes de kHz). El camp variable indueix corrents de Foucault a la base metàl·lica de l'olla, que s'escalfa per efecte Joule; el vidre gairebé no s'escalfa.

Per això cal fer servir recipients de base ferromagnètica. Frens magnètics: un disc o una peça metàl·lica que es mou dins del camp d'un electroimant hi genera corrents de Foucault; segons la llei de Lenz, aquests corrents creen una força que s'oposa al moviment. S'utilitzen en trens, camions i atraccions de fira: no tenen desgast per fricció, però la força disminueix amb la velocitat i no poden aturar del tot el vehicle. ERROR FREQÜENT Pensar que en un generador la fem és màxima quan el flux és màxim. És al revés: la fem depèn de la rapidesa amb què canvia el flux.

Quan el pla de l'espira és perpendicular a , el flux és màxim i la fem és nul·la; quan el pla és paral·lel a , el flux és nul i la fem és màxima. Camps elèctrics i…