Problema 2. B · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia Extraordinaria DANA 2025

Una empresa agrícola que se dedica al cultivo de frutas tropicales ha implementado un sistema de riego automatizado para optimizar el consumo de agua. La función que describe la necesidad de agua del cultivo (en $\text{m}^3/\text{día}$) tras $x$ días de crecimiento, para $x$ entre 0 y 30, es: $$f(x) = \begin{cases} x^3 - 4x^2 + 10 & \text{si } 0 \le x \le 8 \\ 3x + 9 & \text{si } 8 < x \le 20 \\ 70 & \text{si } 20 < x \le 30 \end{cases}$$

Problema 2. B. Cuando la temperatura de un invernadero se mantiene a $x$ grados centígrados, siendo $x$ un número real entre 10 y 30, la producción (en kilogramos) de cierta hortaliza viene dada por la función $Q(x) = 30x^2 + Ax + B - x^3$. Sabemos que la producción máxima se alcanza cuando el invernadero se mantiene a 21 grados centígrados, y que dicha producción máxima es $5.300\text{ kg}$.

a)

Determina los valores $A$ y $B$ que aparecen en la función $Q(x)$. (1,5 puntos)

b)

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $Q(x)$. (1 punto)

c)

Para valores de la temperatura comprendidos entre 10 y 30 grados centígrados, ¿en algún caso se obtiene una producción inferior a $1.000\text{ kg}$? (1 punto)