Ejercicio Primer Ejercicio · Matemáticas II PAU País Vasco Ordinaria 2026

PRIMER EJERCICIO (2 puntos)

Se considera un gas ideal clásico en equilibrio térmico a temperatura $T$. El sistema viene descrito por la estadística de Maxwell-Boltzmann. A pesar de que el módulo de la velocidad de las moléculas del gas no es gaussiano, cada componente cartesiana de la velocidad sí lo es. Teniendo en cuenta la primera componente de la velocidad, su distribución normal es $N\left(0, \frac{k_B T}{m}\right)$, siendo $k_B$ la constante de Boltzmann y $m$ la masa de una molécula del gas considerado. En el caso del nitrógeno a $T = 300\text{ K}$, la desviación típica es $\frac{k_B T}{m} = 298\text{ m/s}$.

(a)

[0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que el valor absoluto de la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno a una temperatura de $300\text{ K}$ sea inferior a $300\text{ m/s}$.

(b)

[0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno a una temperatura de $300\text{ K}$ esté comprendida entre $-600\text{ m/s}$ y $-300\text{ m/s}$.

(c)

[0,5 puntos] Un investigador estudia otro gas, argón, cuyas moléculas tienen mayor masa que las del nitrógeno y, por tanto, si se mantiene la temperatura $T$, la desviación típica correspondiente es menor. Sin realizar ningón cálculo numérico, responde razonadamente: ¿la probabilidad de que la primera componente de la velocidad de una molécula de argón tenga valor absoluto menor que $300\text{ m/s}$ será mayor, menor o igual que en el caso de una molécula de nitrógeno? Justifica tu respuesta utilizando la expresión de la desviación típica, $\sigma = \frac{k_B T}{m}$.