Problema 8 · Física PAU Navarra Extraordinaria 2021

8. Campo gravitatorio terrestre. Energía potencial en las proximidades de la superficie terrestre.

Solución: 1. Campo gravitatorio terrestre: Se define como la fuerza por unidad de masa que experimenta una masa testigo en presencia de la Tierra: $$\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = -G\frac{M_T}{r^2}\vec{u}_r$$ En la superficie terrestre ($r = R_T$): $$g_0 = G\frac{M_T}{R_T^2} \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$$ El campo es central, conservativo y dirigido hacia el centro de la Tierra. 2. Energía potencial gravitatoria general: Tomando el origen de energía potencial en el infinito ($E_p(\infty) = 0$): $$E_p(r) = -G\frac{M_T m}{r}$$ 3. Aproximación en las proximidades de la superficie: Para una altura $h \ll R_T$, $r = R_T + h$: $$E_p(h) = -G\frac{M_T m}{R_T + h} = -G\frac{M_T m}{R_T\left(1 + \frac{h}{R_T}\right)}$$ Usando la aproximación de Taylor $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ para $x = h/R_T \ll 1$: $$E_p(h) \approx -G\frac{M_T m}{R_T}\left(1 - \frac{h}{R_T}\right) = -G\frac{M_T m}{R_T} + G\frac{M_T m}{R_T^2} h$$ Como $g_0 = G M_T / R_T^2$: $$E_p(h) \approx E_p(0) + m g_0 h$$ Tomando como nivel de referencia cero de energía potencial la superficie de la Tierra ($E_p(0) = 0$): $$\Delta E_p = E_p(h) - E_p(0) = m g h$$