Problema 3 · Dibujo técnico II PAU Navarra Extraordinaria 2022

Dibujar las circunferencias tangentes a la recta r pasando por los puntos Q y P.

Solución: Construcción por potencia (caso de Apolonio Punto-Punto-Recta, PPR): 1. Eje radical: Se traza la recta que une los puntos $P$ y $Q$, prolongándola hasta cortar a la recta $r$ en el punto $C_R$ (centro radical). 2. Circunferencia auxiliar: Se traza cualquier circunferencia auxiliar $c_{aux}$ que pase por $P$ y $Q$ (cuyo centro estará en la mediatriz del segmento $PQ$). 3. Segmento de tangencia (potencia): Desde $C_R$, se traza la tangente a la circunferencia auxiliar para obtener la longitud del segmento de tangencia $C_R - T_{aux}$ (mediante el arco capaz de $90^\circ$ sobre el segmento que une $C_R$ con el centro de $c_{aux}$). 4. Puntos de tangencia en $r$: Con centro en $C_R$ y radio igual a $C_R - T_{aux}$, se traza un arco que corta a la recta $r$ en dos puntos de tangencia: $T_1$ y $T_2$. 5. Centros de las soluciones: Por $T_1$ y $T_2$ se trazan sendas perpendiculares a la recta $r$. La intersección de estas perpendiculares con la mediatriz del segmento $PQ$ determina los centros $O_1$ y $O_2$. 6. Circunferencias solución: Con centros $O_1$ y $O_2$ y radios $O_1 - T_1$ y $O_2 - T_2$ (que son iguales a $O_1 - P$ y $O_2 - P$), se trazan las dos circunferencias solución.