Opción B - Pregunta 3 · Física PAU Madrid Modelo 2019

a) Defina el flujo de una magnitud vectorial. Enuncie el teorema de Gauss.

Solución: Considérese una superficie $dS$, cuyo vector asociado $d\vec{S}$ tiene de módulo el valor $dS$, su dirección es perpendicular a la superficie y su sentido se puede elegir arbitrariamente en uno u otro sentido de la recta perpendicular a $dS$. El flujo, $d\phi$, de un vector $\vec{A}$, a través de la superficie $dS$, es, por definición, el producto escalar de $\vec{A}$ y $d\vec{S}$. Es decir: $$d\phi = \vec{A}\cdot d\vec{S} = A\cdot dS\cdot \cos\theta$$ Y el flujo a través de una superficie $S$: $$\phi = \int_S \vec{A}\cdot d\vec{S}$$ Teorema de Gauss: El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada coincide con la carga neta encerrada dentro de dicha superficie, dividido por $\varepsilon_0$: $$\phi = \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q_{\text{encerrada}}}{\varepsilon_0}$$

b) Flujo a través de una superficie esférica concéntrica y determinación del campo eléctrico mediante el teorema de Gauss.

Solución: Sea $E$ el módulo del campo eléctrico creado por la carga $q$, situada en el origen. Por simetría (isotropía del espacio) $E$ vale lo mismo en todos los puntos de una esfera centrada en el origen de radio $R$. La isotropía del espacio también nos garantiza que el vector campo $\vec{E}$ sea radial. Por tanto: $$d\phi = \vec{E}\cdot d\vec{S} = E\cdot dS$$ Para toda la esfera de radio $R$: $$\phi = \int_S E\cdot dS = E \int_S dS = E\cdot 4\pi R^2$$ Según el teorema de Gauss: $$\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$$ De ambas expresiones se tiene: $$E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$$ Y como vector ya hemos dicho que es un vector radial: $\vec{E} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R^2}\vec{u}_r$.