Problema 3 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja Ordinaria 2022

Bloque 3. Estadística y Probabilidad.

3.1.- En una casa hay tres llaveros: $A$, $B$ y $C$, el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho. En cada llavero hay una única llave que abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero, y de él se toma a su vez una llave al azar. Entendemos que, cuando se escoge una cosa al azar entre varias, todas ellas tienen la misma probabilidad de ser la escogida. Se pide:

3.2.

Una variable $X$ es normal de media $25$ y desviación típica $5$, y otra $Y$ es también normal, pero con media $28$ y desviación típica $1$.

(i)

Calcula las probabilidades $P(X > 30)$ y $P(Y > 30)$. ¿Cuál es mayor? [1 punto]

$P(X > 30)$

$P(Y > 30)$

(ii)

Tomamos una muestra de $n = 4$ valores independientes de $X$ y anotamos su promedio $\overline{X}$. Calcula $P(\overline{X} > 30)$. ¿Cuál sería el resultado si $n = 9$? [1 punto]

(iii)

¿Cómo explicarías la comparación del resultado de (ii) con el de (i), sin recurrir a fórmulas? [0.5 puntos]

3.3.

Como ya sabe la cifra de asistentes, el ayuntamiento de Zaragoza ha asegurado que la duración de la ofrenda de flores del día del Pilar tendrá, en horas, una distribución de probabilidad normal con media $8$ y desviación típica $\sqrt{2}/5$.

(i)

¿Puedes afirmar, con al menos un $95\%$ de probabilidad de acierto, que la duración de la ofrenda será inferior a ocho horas y media? ¿Podemos hacerlo con probabilidad mayor del $99\%$? [1.5 puntos]

Sí

No

Sí

No

(ii)

Una variable normal estándar $Z$ cumple que $P(Z \leq 2.3263) = 0.99$. ¿Qué desviación típica (en lugar de la dada, y manteniendo la media de ocho horas) debería tener la duración de la ofrenda para que la probabilidad de ser menor que ocho horas y media fuera del $99\%$? [1 punto]