Ejercicio 2.2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja Ordinaria 2024

El diseño del logo de New Summit se ajusta en altura a la gráfica de la siguiente función:

$$f(x) = \begin{cases} a\,x^2 & \text{si } 0 \le x \le 2, \\ 5 - x & \text{si } 2 \le x \le 5. \end{cases}$$

2.2.- Encuentra los valores de $a$ y $b$ que hacen que la función dada por

$$f(x) = x^3 - ax^2 - bx + 1$$

cumpla las dos propiedades siguientes:

(i) Su derivada vale lo mismo en $x = 0$ y en $x = 1$.

(ii) Tiene un extremo relativo en $x = -1$.

[1.75 puntos]

¿Qué propiedad cumplen las rectas tangentes a la gráfica $y = f(x)$ en los puntos de abscisa $0$ y $1$? ¿Qué tipo de extremo relativo (máximo o mínimo) tiene $f$ en $-1$?

[0.75 puntos]