EJERCICIO 4 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Galicia Ordinaria 2023

Tema: Derivadas: parámetros, curvatura y representación de funciones · Del examen Ordinaria (2023)

Enunciado

EJERCICIO 4. Análisis.

Los beneficios obtenidos durante el primer año (en cientos de euros) por un establecimiento dedicado al reparto de comida a domicilio vienen dados por la función:

B(t)=t(t−a)2,0≤t≤12B(t) = t(t - a)^2, \quad 0 \le t \le 12

en donde tt es el tiempo transcurrido en meses desde la apertura del establecimiento.

a)

Calcule el valor del parámetro aa teniendo en cuenta que B(t)B(t) presenta un punto de inflexión en t=6t = 6.

b)

Para a=9a = 9, ¿cuál ha sido el mayor beneficio obtenido? ¿En qué momento o momentos se ha producido? Justifica las respuestas.

c)

Para a=9a = 9, represente la gráfica de la función B(t)B(t) teniendo en cuenta la información anterior y el estudio de sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Enunciado: EJERCICIO 4 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Galicia Ordinaria 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Calcule el valor del parámetro a teniendo en cuenta que B(t) presenta un punto de inflexión en t = 6.

Solución: 9

b) Mayor beneficio obtenido

Solución: 108 / 10800

b) Momento o momentos en que se ha producido

Solución: 3 y 12 / 3, 12

b) Justificación

Solución: Se evalúan los puntos críticos t=3 y t=9 y los extremos t=0 y t=12 en la función B(t), obteniéndose el máximo valor absoluto de 108 tanto en t=3 como en t=12.

c) Para a = 9, represente la gráfica de la función B(t).

Solución: Gráfica de la función cúbica B(t)=t(t−9)2B(t) = t(t-9)^2 en [0,12][0, 12] que pasa por (0,0)(0,0), alcanza un máximo relativo en (3,108)(3, 108), un punto de inflexión en (6,54)(6, 54), un mínimo relativo en (9,0)(9, 0) y sube hasta el extremo (12,108)(12, 108).

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