Ejercicio 6 · Matemáticas II PAU Cantabria Ordinaria 2021

Ejercicio 6 [2.5 PUNTOS]

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, $I(t)$, viene dada por la función:

$$I(t) = \begin{cases} ke^{2t} & \text{si } t < 1 \\ \frac{t^2}{3t^2 + 1} & \text{si } t \ge 1 \end{cases}$$

siendo $k$ una constante real, $t$ el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y $t = 1$ el inicio de la vacunación.

1)

[0.75 PUNTOS] Calcula el valor de $k$ para que $I(t)$ sea continua.

2)

[0.75 PUNTOS] Calcula la proporción de personas infectadas cuando $t \to \infty$.

3)

[0.5 PUNTOS] Calcula la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante $t = \frac{1}{2}$.

4)

[0.5 PUNTOS] Calcula la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante $t = 2$.