Pregunta 1. Opción B · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias Ordinaria 2026

Las ventas ($v$, en miles de euros) de una empresa en función del tiempo ($t$, en meses) se pueden modelar mediante la siguiente función:

$$v(t) = \begin{cases} 2t + 5, & \text{si } 0 < t < 3 \\ -t^2 + 10t + k, & \text{si } 3 \le t < 8 \\ -k - 4, & \text{si } 8 \le t \le 12 \end{cases}$$

a)

Determina el valor de la constante $k$ para que la función $v$ sea continua en todo su dominio. [0.5 puntos]

b)

Con el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, ¿en qué momento se alcanza el mayor importe de las ventas? ¿Cuál sería ese importe? ¿En qué momento o momentos aumentan las ventas? [1 punto]

c)

Las ventas totales en un intervalo de tiempo se obtienen calculando la integral entre los dos extremos de ese intervalo, ¿cuál es el importe total (en miles de euros) de las ventas entre el quinto y el noveno mes? (utiliza el valor de $k$ obtenido en el primer apartado). [1 punto]